圆中的最值模型之阿氏圆模型（学生版）-初中数学.pdf

圆中的最值模型之阿氏圆模型

最值问题在中考数学中常常作为压轴题出现，其中“阿氏圆”(又称“阿波罗尼斯圆”)是一个重要的考点。这

类题目主要考察学生的转化与化归等数学思想，并且在各类考试中通常都被视为高档题。为了帮助学生更好地

理解和掌握这一知识点，本专题将对最值模型中的阿氏圆问题进行系统的梳理，并提供对应的试题分析，以便学

生能够熟练掌握并灵活应用。目录

例题讲模型1

模型1.阿氏圆模型1

习题练模型7

模型1.阿氏圆模型例题讲模型

动点到两定点距离之比为定值(即：平面上两点A、B，动点P满足PA/PB=k(k为常数，且k≠1))，那么动

点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿

氏圆。

如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙外O，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB(即OP=k)，连接

OB

PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？

1

OCOPOPOC

如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r(即=k)，∵=k，∴=，

OPOBOBOP

PC

∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴=k，即k·PB=PC。

PB

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值。

其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何

构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点(系数小于1)；点在圆内：向外取点(系数大于一内一外：1)；提系

数；隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的胡不归“”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨

迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的阿氏圆“”问题．

1.(2024·浙江·校考一模)如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC

2

⊥AB，AD=1，BC=3，点P是⊙O上的一动点，则PD+PC的最小值为．