专题04 中考几何五大最值问题（全国通用）（原卷版）.docx

专题04中考几何五大最值问题

模型一：将军饮马问题

1.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′，

在△ABP’中，AP′+BP′AB，即AP′+BP′AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小

（或△ABP的周长最小）

解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线，

由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则

需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

方法总结：

1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.

模型二：阿氏圆问题

阿氏圆问题

问题：求解“”类加权线段和最小值

方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值

②造：根据线段比，构造母子型相似

③算：根据母子型结论，计算定点位置

④转：“”转化为“”问题

关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数

②系数小于1：内部构造母子型

③系数大于1：外部构造母子型

模型三：胡不归问题

识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）

方法：

1、将所求线段和改为的形式（）

2、作，使

3、过点B作交AC于点P

4、的最小值转化为垂线段的长

注意：当k＞1时，

模型四：隐圆

（一）：定点定长作圆

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。

（二）：点圆最值

已知平面内一定点D和?O，点E是?O上一动点，设点O与点D之间距离为d，?O半径为r.

位置关系

点D在圆O内

点D在圆O上

点D在圆O外

图示

DE的最大值

d＋r?

2r?

d＋r

此时点E的位置

连接DO并延长交?O于点E

?

DE的最小值

r－d

0

d－r

此时点E的位置

连接OD并延长交?O于点E

点E与点D重合

连接OD交O于点E

（三）定弦定角解决问题的步骤：

（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。

（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）

（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置

（4）计算隐形圆的半径

（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来

（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径

模型五：费马点

【费马点问题】

问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

图文解析：

如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，

∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．

∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长

∴当B、P、P′、A′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′

【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】

∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，

∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，

∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.

因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段.

【知识应用】两点之间线段最短.

模型一：将军饮马问题

1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若△CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（）

A．78 B．39 C．42 D．30

2．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（）

A． B．3 C． D．

3．如图所示，在中，，