专题04 中考几何五大最值问题(全国通用)(原卷版).docx

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专题04中考几何五大最值问题

模型一:将军饮马问题

1.

已知:如图,定点A、B分布在定直线l两侧;

要求:在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小

解:连接AB交直线l于点P,点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由:在l上任取异于点P的一点P′,连接AP′、BP′,

在△ABP’中,AP′+BP′AB,即AP′+BP′AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+PB最小.

已知:如图,定点A和定点B在定直线l的同侧

要求:在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小

(或△ABP的周长最小)

解:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,

点P即为所求;

理由:根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线,

由中垂线的性质得:PA=PA′,要使PA+PB最小,则

需PA′+PB值最小,从而转化为模型1.

方法总结:

1.两点之间,线段最短;2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4.垂线段最短.

模型二:阿氏圆问题

阿氏圆问题

问题:求解“”类加权线段和最小值

方法:①定:定系数,并确定是半径和哪条线段的比值

②造:根据线段比,构造母子型相似

③算:根据母子型结论,计算定点位置

④转:“”转化为“”问题

关键:①可解性:半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数

②系数小于1:内部构造母子型

③系数大于1:外部构造母子型

模型三:胡不归问题

识别条件:动点P的运动轨迹是直线(或线段)

方法:

1、将所求线段和改为的形式()

2、作,使

3、过点B作交AC于点P

4、的最小值转化为垂线段的长

注意:当k>1时,

模型四:隐圆

(一):定点定长作圆

点A为定点,点B为动点,且AB长度固定,

则点B的轨迹是以点A为圆心,AB长为半径的圆。

(二):点圆最值

已知平面内一定点D和?O,点E是?O上一动点,设点O与点D之间距离为d,?O半径为r.

位置关系

点D在圆O内

点D在圆O上

点D在圆O外

图示

DE的最大值

d+r?

2r?

d+r

此时点E的位置

连接DO并延长交?O于点E

?

DE的最小值

r-d

0

d-r

此时点E的位置

连接OD并延长交?O于点E

点E与点D重合

连接OD交O于点E

(三)定弦定角解决问题的步骤:

(1)让动点动一下,观察另一个动点的运动轨迹,发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。

(2)找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角),(这个补角一般为、)

(3)找张角所对的定弦,根据三点确定隐形圆,确定圆心位置

(4)计算隐形圆的半径

(5)圆心与所求线段上定点的距离可以求出来

(6)最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径

模型五:费马点

【费马点问题】

问题:如图1,如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?

图文解析:

如图1,把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C,连接PP′.则△CPP′为等边三角形,CP=PP′,PA=P′A′,

∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′.

∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点,BA′为定长

∴当B、P、P′、A′四点在同一直线上时,PA+PB+PC最小.最小值为BA.′

【如图1和图2,利用旋转、等边等条件转化相等线段.】

∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°,

∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°,

∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.

因此,当△ABC的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是120°;当有一内角大于或等于120°时,所求的P点就是钝角的顶点.费马点问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转变换.

【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段,将三条线段转化成首尾相连的三条线段.

【知识应用】两点之间线段最短.

模型一:将军饮马问题

1.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为6,腰AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E,F,D为BC边的中点,M为线段EF上一动点,若△CDM的周长的最小值为13,则等腰三角形ABC的面积为()

A.78 B.39 C.42 D.30

2.已知,在内有一定点P,点M,N分别是,上的动点,若的周长最小值为3,则的长为()

A. B.3 C. D.

3.如图所示,在中,,

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