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专题04中考几何五大最值问题
模型一:将军饮马问题
1.
已知:如图,定点A、B分布在定直线l两侧;
要求:在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小
解:连接AB交直线l于点P,点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由:在l上任取异于点P的一点P′,连接AP′、BP′,
在△ABP’中,AP′+BP′AB,即AP′+BP′AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+PB最小.
已知:如图,定点A和定点B在定直线l的同侧
要求:在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小
(或△ABP的周长最小)
解:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,
点P即为所求;
理由:根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线,
由中垂线的性质得:PA=PA′,要使PA+PB最小,则
需PA′+PB值最小,从而转化为模型1.
方法总结:
1.两点之间,线段最短;2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4.垂线段最短.
模型二:阿氏圆问题
阿氏圆问题
问题:求解“”类加权线段和最小值
方法:①定:定系数,并确定是半径和哪条线段的比值
②造:根据线段比,构造母子型相似
③算:根据母子型结论,计算定点位置
④转:“”转化为“”问题
关键:①可解性:半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数
②系数小于1:内部构造母子型
③系数大于1:外部构造母子型
模型三:胡不归问题
识别条件:动点P的运动轨迹是直线(或线段)
方法:
1、将所求线段和改为的形式()
2、作,使
3、过点B作交AC于点P
4、的最小值转化为垂线段的长
注意:当k>1时,
模型四:隐圆
(一):定点定长作圆
点A为定点,点B为动点,且AB长度固定,
则点B的轨迹是以点A为圆心,AB长为半径的圆。
(二):点圆最值
已知平面内一定点D和?O,点E是?O上一动点,设点O与点D之间距离为d,?O半径为r.
位置关系
点D在圆O内
点D在圆O上
点D在圆O外
图示
DE的最大值
d+r?
2r?
d+r
此时点E的位置
连接DO并延长交?O于点E
?
DE的最小值
r-d
0
d-r
此时点E的位置
连接OD并延长交?O于点E
点E与点D重合
连接OD交O于点E
(三)定弦定角解决问题的步骤:
(1)让动点动一下,观察另一个动点的运动轨迹,发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。
(2)找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角),(这个补角一般为、)
(3)找张角所对的定弦,根据三点确定隐形圆,确定圆心位置
(4)计算隐形圆的半径
(5)圆心与所求线段上定点的距离可以求出来
(6)最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径
模型五:费马点
【费马点问题】
问题:如图1,如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?
图文解析:
如图1,把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C,连接PP′.则△CPP′为等边三角形,CP=PP′,PA=P′A′,
∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′.
∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点,BA′为定长
∴当B、P、P′、A′四点在同一直线上时,PA+PB+PC最小.最小值为BA.′
【如图1和图2,利用旋转、等边等条件转化相等线段.】
∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°,
∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°,
∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.
因此,当△ABC的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是120°;当有一内角大于或等于120°时,所求的P点就是钝角的顶点.费马点问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转变换.
【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段,将三条线段转化成首尾相连的三条线段.
【知识应用】两点之间线段最短.
模型一:将军饮马问题
1.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为6,腰AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E,F,D为BC边的中点,M为线段EF上一动点,若△CDM的周长的最小值为13,则等腰三角形ABC的面积为()
A.78 B.39 C.42 D.30
2.已知,在内有一定点P,点M,N分别是,上的动点,若的周长最小值为3,则的长为()
A. B.3 C. D.
3.如图所示,在中,,
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