广东省六校联考2025届高三上学期12月联考数学试题（含答案）.docx

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广东省六校联考2025届高三上学期12月联考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=x∈Rx2?x?20，B=y∣y=

A.?1,4 B.0,2 C.12,1

2.命题“?x0,x2+x0”的否定是

A.?x0,x2+x0 B.?x0,x2+x≤0

3.已知等边?ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=3EF，则AF=

A.12AB+34AC B.1

4.将函数fx=sin2x?π6的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)

A.0,π8 B.π8,π4

5.已知x0，y0，且1x+2y=1，则2x+1y

A.4 B.42?1 C.6

6.将曲线y=e2x(e为自然对数的底数)绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则tan

A.e B.e2 C.2e D.

7.如图，在已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，N是棱AB上的点，且AN=

A.1341 B.1354 C.35127

8.已知函数f(x)=cos3x?cos2x，x∈(0,π)，若f(x)有两个零点x1,

A.14 B.?14 C.1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在复平面内，复数z1、z2对应的向量分别为a1、a2，则下列说法不

A.z1z2=a1?a2 B.z1?z

10.已知等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S25

A.当n=24，Sn最大 B.使得Sn0成立的最小自然数n=48

C.a23+

11.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，Q是线段AB的中点，P是线段BC

A.三棱锥P?A1QC的体积为定值

B.直线PQ与AC所成角的正切值的最小值是22

C.在直三棱柱ABC?A1B

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=m,1，b=m,?1，若2a?b

13.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an?2n∈N?，

14.若存在a，b，c∈π,2π(a,b,c互不相等)，满足sinωa+sin

四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在ΔABC中，角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，且2

(1)求角C的值；

(2)若c=5，2tanA=3tanB

16.(本小题12分)

已知椭圆C的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(?1,0)，F21,0，点A

(1)求椭圆C的标准方程和离心率；

(2)已知直线l与椭圆C交于M、N两点，且OM⊥ON，求?OMN面积的取值范围．

17.(本小题12分)

(一)如图所示，已知四棱锥P?ABCD中，BC=CD=PA=PB=PC=PD=2，∠ABC=∠ADC=90

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)当四棱锥P?ABCD的体积最大时，求二面角P?BC?A的正弦值．

(二)已知函数fx

(1)若a=?1，求函数y=f(x)的极值；

(2)讨论fx

(3)若x1,x2x1

18.(本小题12分)

给定正整数n≥2，设数列a1,a2,?,an是1,2,?,n的一个排列，对i∈1,2,?,n，xi表示以ai为首项的递增子列的最大长度(数列中项的个数叫做数列的长度)，yi表示以ai为首项的递减子列的最大长度．我们规定：当ai后面的项没有比ai大时，xi=0，当ai后面的项没有比ai小时，yi=0.例如数列：

(1)若n=4，a1=1，a2=4，a3=2，a4

(2)求证：?i∈1,2,?,n?1，x

(3)求i=1nxi

参考答案

1.D?

2.B?

3.A?

4.C?

5.D?

6.C?

7.A?

8.B?

9.ACD?

10.ABD?

11.ABD?

12.2?

13.2n+1

14.94

15.解：(1)因为2a?bc=2cosB，所以2sinA?sinB=2sinCcosB，

则2sin(B+C)?sinB=2sinCcosB，

所以2sinBcosC=sinB，0Bπ，sinB≠0，

故cosC=22，又0Cπ

16.解：(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，

依题意：12a2+12b2=1a2=b2+1解得a2=2b2=1,

∴椭圆C的方程为x22+y2=1．

椭圆的离心率为e=ca=12．

(2)当直线OM不垂直于坐标轴时，直线OM的斜率存在且不为0，

设其方程为y=kx(k≠0)，

由y=kxx2+2y2=2，

消去y得x2=2

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