《測圓海鏡》之已知大勾求圓徑題之四(12).docx

1-

《測圓海鏡》之已知大勾求圓徑題之四(12)

上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112

何世強HoSaiKeung

提要：以下諸題源自《測圓海鏡?卷六》，所問者皆與“圓城圖式”有關，主要涉及勾股形之三邊成內接圓之切線，而求圓徑之問題。本文之問在“圓城圖式”中，已知大勾及另一條件，求圓徑。有時直接求圓徑或其半徑有困難，可先求輔助未知數。

關鍵詞：乾隅大勾叀弦

以下之問取材自《測圓海鏡?卷六》涉及大勾之問。

筆者已有文章談及已知大股而求圓徑之題名為〈《測圓海鏡》之已知大勾求圓徑題之一(9)、之二(10)及之三(11)〉，本文乃以上三文之延續。

以下為圓城之一般圖式：

朱

朱

《測圓海鏡》諸問皆涉及“圓城圖式”。《測圓海鏡》提供“圓城”兩個條件，計算圓城之半徑。地乾乃為大勾，大勾共一十八問。〈第一問〉至〈第十三問〉見前三文。以下各題之單位為“步”，又以下各題之紅色線乃為已知長度。

以下各題之算法未必唯一，即筆者之算法未必與《測圓海鏡》之算法相同，所採用之未知數亦未必相同。

〈第十四問〉

或問：甲從乾隅東行三百二十步而止，丙出東門南行，乙出東門直行，各不知步數而立，甲廻望乙、丙悉與城叅相直。既而乙就趨向之意。丙，斜行三十四步相?。問：

趨向之意。

解：

南 B

已知

RK=34

DC=320 P

H

東 K Q 西

R F

A O

C M E D甲

今將圖之重要部分放大如下：

H P Q

L

DC=320 丙K O

半徑FO=r 乙R F

A

KR=34

甲C

M E ← D甲

題意指甲從乾隅D東行320步而止於C，丙出東門A南行而立於K，乙出東門A直行東方而立於R，各俱不知步數，甲廻望乙、丙悉與城叅相直，即CRKL成直線。既而乙就丙，斜行34步相?，即RK=34。求圓城徑。

今設AK=x，即丙行步數。圓城半徑為r及全徑為d，又2r=d。

從圖可知，RO=RC，CL=CE，所以r+√(342–x2)=(320–r)–x–34。

又ΔKRA與ΔKCM相似ΔLRO，所以以下比例成立：

AKKR=KMKC，即x34

34x+34r=320x–xr–x2

34r=286x–xr–x2(1)

在ΔLRO中，依勾股定理得：

(34+x)2+r2=(320–r–34–x)2

(34+x)2+r2=(286–r–x)2

1156+x2+68x+r2=81796+r2+x2–572x–572r+2rx

68x=80640–572x–572r+2rx

640x=80640–572r+2rx

x(640–2r)=80640–572r

x=40320-286r320-r

式(1)為34r=286x–xr–x2，以(2)代入得：

34r=286(40320-286r)320-r–r(40320-286r)320-r–[40320-286r

34r(320–r)2=286(40320–286r)(320–r)–r(40320–286r)(320–r)–(40320–286r)2

17r(320–r)2=143(40320–286r)(320–r)–r(20160–143r)(320–r)–(20160–143r)(40320–286r)

1740800r+17r3–10880r2=1845043200–5765760r–+40898r2–6451200r+20160r2+45760r2–143r3–812851200+5765760r+5765760r–40898r2

160r3–76800r2+=1032192000

16r3–7680r2+1551360r=103219200

r3–480r2+96960r–6451200=0，分解因式得：

(r–120)(r2–360r+53760)=0。

取r=120﹝步﹞，即城半徑為120步。

若d=2r，則上式r3–480r2+96960r–6451200=0可寫成

d23–480d22+96960

d3–960d2+387840d–51609600