压轴题01 二次函数图象性质与几何问题（3题型+2类型+解题模板+技巧精讲）（解析版）.docxVIP

压轴题解题模板01

二次函数图象性质与几何问题

目录

TOC\o1-2\n\p\h\z\u题型一二次函数与最值问题：

题型二二次函数与图形面积问题

题型三二次函数与图形判定问题

类型1：与特殊三角形相关

类型2：与特殊四边形相关

二次函数图象性质与几何问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数与几何图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①求抛物线、直线的解析式；②求点的坐标、线段长度、图形面积；③探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题.

下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.

题型一二次函数与最值问题

解题模板：

【例1】（2023?枣庄节选）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；

【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；

（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，利用两点间距离公式即可求得答案；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，

∴，

解得：，

∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点M（1，4），

设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，

解得：，

∴直线AM的解析式为y＝2x+2，

当x＝0时，y＝2，

∴D（0，2），

作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，

则DH＝D′H，

∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，

∵D′M＝＝，

∴MH+DH的最小值为；

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．

【变式1-1】（2023?内蒙古节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；

（2）先求直线AC的解析式，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则D（t，0），E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得PD+PE＝﹣2（t+）2+，当t＝﹣时，PD+PE取最大值，此时P（﹣，）；

【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：

，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，

解得x＝﹣3或x＝1，

∴A（﹣3，0），

由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC解析式为y＝x+3，

设P（t，﹣t2﹣2t+3），则D（t，0），E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），

∴PD+PE＝﹣t2﹣2t+3+（﹣t2﹣2t）﹣t＝﹣2t2﹣5t+3＝﹣2（t+）2+，

∵﹣2＜0，

∴当t＝﹣时，PD+PE取最大值，

此时P（﹣，）；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键．

【变式1-2】（2023?眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；

【分析】（1）运用待定系数法，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；

（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，由PE∥x轴，得△EPD∽△ABD，进而得出＝＝＝﹣（t+）2+，