专题03 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理（全国通用）（解析版）.docx

专题03梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理

梯子模型

如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。

[考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。

模型一:如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB=ZAOC=90°AC的中点为P,连接OP、BP、OB,则当O、P、B三点共线时,此时线段OB最大值。

即已知RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中OB的最值

模型二:如图所示,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点A在边OM上运动时,点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接OP、PD、OD,则当O、P、D三点共线时,此时线段OD取最大值

四边形中对角互补模型

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.

模型一：含90°的全等型

1.如图1，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：

①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC.

2.如图2，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.

则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC.

图1图2图3

模型二、：含60°与120°的全等型

如图3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120o，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：

①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC.

梯形中位线定理

（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线

（2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

类型一：梯子模型

【典例1】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是3+．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，

∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，

∴AE＝BE＝3＝OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，

∴DE＝＝，

∵OD≤OE+DE，

∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．

∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+，

故答案为：3+．

【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是2+．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，取AC的中点M，连接OM，BM．

∵∠AOC＝90°，AM＝CM，AC＝4．

∴OM＝AC＝2，

在Rt△ABM中，∵∠BAM＝90°，AB＝1，AM＝2，

∴BM＝＝，

∵OB≤BM+OM，

∴OB≤2+，

∴OB的最大值为2+．

故答案为2+．

【变式1-2】如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是5+5．．

【答案】5+5．

【解答】解：∵∠MEN＝90°，F是BC中点，

∴EF＝BC＝5．

如图：

ED≤EF+DF，

当点D，E，F三点共线时，取等号．

此时F是BC的中点，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°，

∴FD＝＝＝5．

∴ED最大＝EF+DF＝5+5．

故答案为：5+5．

类型二：四边形中对角互补模型

【典例2】在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．

（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为AD+AB＝AC；

（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；

（3）如图3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求线段AC的长和四边形ABCD的面积．

【答案】（1）AD+AB＝AC；

（2）成立，理由见解答；

（3）AC＝5，四边形ABCD面积为25．

【解答】解：（1）∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，

∴∠D＝∠B＝