专题02 十字架模型综合（全国通用）（解析版）.docx

专题02十字架模型综合

类型一：【十字架模型】--正方形

第一种情况：过顶点

在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）

所以AE=BF

第二种情况：不过顶点

在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH

也可以如下证明

在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH

类型二：【十字架模型】--矩形

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；

可证：△ADE∽△BAF所以

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，探究EG与FH的关系

【解答】

可证：△ADN∽△BAM

∴

∴

但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中EG⊥FH，探究EG与FH的关系

可证△EOH∽△GOF

【典例1】（2023?嘉鱼县模拟）【问题探究】如图1，正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P，求证AF＝BG；

【知识迁移】如图2，矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P．求的值；

【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BDC＝120°，DB＝DC，点E、F分别在线段AB、BC上，且CE⊥DF于点P．请直接写出的值．

【答案】（1）见解析；

（2）；

（3）2．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∠2+∠ABP＝90°，

∵AF⊥BG，

∴∠1+∠ABP＝90°，

∴∠1＝∠2，

在△ABF和△BCG中，

，

∴△ABF≌△BCG（ASA），

∴AF＝BG；

（2）解：作EM⊥DC于点M，作HN⊥BC于点N，

则EM∥AD∥BC，HN∥AB∥DC，

∴EM⊥HN，EM＝AD＝BC，HN＝AB＝DC，

又∵EG⊥HF，

∴∠GEM＝∠FHN，

∴Rt△EMG∽Rt△HNF，

∴，

即；

（3）解：过点D作DH⊥BC于点H，交CE于点M，

则∠DHF＝∠ABC＝90°，

∴∠CMH+∠BCE＝90°，

∵CE⊥DF，

∴∠PDM+∠PMD＝90°，

∵∠PMD＝∠CMH，

∴∠BCE＝∠PDM，

∴△CBE∽△DHF，

∴，

∵BD＝CD，∠BDC＝120°，

∴∠DCH＝30°，BC＝2CH，

在Rt△CHD中，∠CHD＝90°，

∴tan30°＝，

∴CH＝DH，

∴BC＝2DH，

∴＝2．

【典例2】（2023?湘潭县三模）已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．

（1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD?DF＝AE?DC，求证：∠CGE＝90°；

（2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE?CD＝CF?DA；

（3）如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，设DE⊥CF，当∠BAD＝90°时，直接写出的值．

【答案】（1）见解析；

（2）见解析；

（3）．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠A＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠FDC＝90°，

∵AD?DF＝AE?DC，

∴，

∴△ADE∽△DCF，

∴∠ADE＝∠DCF，

∴∠ADE+∠DFC＝∠DCF+∠DFC＝90°，

∴∠DGF＝90°，

∴∠CGE＝∠DGF＝90°；

（2）证明：∵∠DGF＝∠EGC，∠A＝∠EGC，

∴∠DGF＝∠A，

∴∠GDF＝∠ADE，

∴△GDF∽△ADE，

∴，

∴，

∵AB∥CD，

∴∠AED＝∠CDG，

∵∠AED＝∠CFD，

∴∠CFD＝∠CDG，

∵∠DCF＝∠GCD，

∴△DCF∽△GCD，

∴，

∴，

∴DE?CD＝CF?DA；

（3）解：如图，作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，连接BD，设CN＝x，

∵∠BAD＝∠AMC＝∠ANC＝90°，

∴四边形AMCN是矩形，

∴CM＝AN，AM＝CN＝x，∠MCN＝90°，

∵BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

∴∠BCD＝∠BAD＝90°，

∴∠BCM＝∠DCN＝90°﹣∠BCN，

∴∠M＝∠CND＝90°，

∴△BCN∽△DCN，

∴，

∴CM＝x，

在Rt△BCM中，由勾股定理得，

∴（x﹣3），

解得x＝或x＝0（不合题意舍去），

∴CN＝，

∵DE⊥CF