苏教版必修四第二章 平面向量 第五讲 向量的应用(学案含答案).pdfVIP

高中数学向量的应用

一、考点突破

知识点课标要求题型说明

1.会用向量方法解决通过本节的

简单的物理问题及其学习,学习研究

向量的应用他的一些实际问题；向量法和坐标法

填空

2.会用向量方法解决处理物理和几何

某些简单的几何问题。问题的思想。

二、重难点提示

重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题。

难点：用向量方法解决实际问题的根本方法。

一、向量在物理学中的应用

向量是既有大小又有方向的量,物理中有很多量,如力、速度等都是向量。用数学知识

解决物理问题,首先要把物理问题转化为数学问题,即将物理之间的关系抽象成数学模型,

然后再通过对这个模型的研究解释相关的物理现象。

【要点诠释】

1.用向量的知识可以解决许多力学问题,如速度与力的分解、合成,这时要用到平行四边

形法那么、三角形法那么,以及相关的力的夹角、大小的求法。

2.用向量的方法也可以解决力做功问题,这时要用到向量的数量积。

二、向量在几何学中的应用

1.向量在平面几何中的应用

把平面几何中的线段规定方向转化为向量。这样有关线段的长度即转化为求向量的长度

〔模〕,射线的夹角即转化为向量的夹角,于是平面几何中的一些证明、计算就被向量的运

算取代,这给许多问题的解决带来了方便,就是说向量为研究平面几何问题提供了一种新的

思想,新的工具。

【核心突破】

平面几何证明中辅助线往往是学习的难点,而引入向量后,就减少或不作辅助线,但应

注意选用基底向量表示有关向量,选用的基底向量不同,解法也会有一些差异,因此选用适

宜的基底向量显得尤为重要。

【规律总结】

〔1〕平面向量在几何表示下的应用

通常先选取一组基底,基底中的向量最好模及两者之间的夹角,然后将问题中出现的向

量用基底表示,再利用向量的运算法那么、运算律以及一些重要性质运算,最后把运算结果

复原为几何关系。

〔2〕用向量方法解决平面几何问题的“三步曲〞

2.向量在解析几何中的应用

解析几何就是用坐标的方法研究图形,而向量也引入了坐标运算,因此可以用向量的坐

标运算解决解析几何中的证明与计算等问题。

【核心突破】

解析几何中的点共线,线线平行、垂直、夹角、距离都有各自的方法及公式,而这些问

题在向量中也有相应的公式,而且有许多比解析几何中的公式更加简单,更具有一般性。例

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如用解析几何中直线斜率公式求夹角或证垂直时,必须对直线斜率有无进行讨论,而用向量

的方法就可以不讨论了。但应该注意,解析几何中的公式及向量中的公式都有各自的特点,

同一个问题选用不同的方法,其运算的复杂程度往往有很大差异,因此要注意选用这两种

不同的方法。

例题1〔向量在物理中的应用〕

如图,在细绳O处用水平力F缓慢拉起所受重力G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为

2

θ,绳子所受到的拉力为F,求：

1

〔1〕F||,|F|随角θ的变化而变化的情况；

12

〔2〕当F||≤2|G|时,θ角的取值范围。

1

,,,

思路分析：由力的平衡原理知重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力