专题1-6 二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角（解析版） .docx

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专题1－6二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角

导语：见到2倍角的条件，首先想到“导”，将图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察角度的位置，结合其他条件，这里做题的经验，总结了六个字：翻、延、倍、分、导、造

目录

TOC\o1-3\h\z\u知识点梳理

策略一：向外构造等腰（大角减半）

策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）

策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）

策略四：邻二倍角的处理

【经典例题讲解】

【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻”?“延”?倍”“分”

【一题多解2】常规法与倍半角处理对比

策略五：绝配角模型

题型一向外构造等腰三角形（大角减半）

2023·深圳南山区联考二模

2023·山西·统考中考真题

题型二向内构造等腰（小角加倍或大角减半）

题型三沿直角边翻折半角（小角加倍）

2023·深圳宝安区二模

2023·深圳中学联考二模

题型四邻二倍角的处理

题型五绝配角

题型六坐标系中的二倍角问题

宿迁·中考

盐城·中考

河南·中考

2023·内蒙古赤峰·统考中考真题

江苏苏州·统考中考真题

内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题

2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题

2023·湖北黄冈·统考中考真题

题型七其它构造方式

知识点梳理

策略一：向外构造等腰（大角减半）

已知条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB

A

A

C

B

D

辅助线作法：延长CB到D，使BD＝BA，连接AD

结论：AD＝AC，△BDA∽△ADC

策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）

已知条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠B

辅助线作法：法一：作∠ABC的平分线交AC于点D，结论：∠DBC＝∠C，DB＝DC

A

A

D

B

C

法二：在BC上取一点E，使AE＝CE，则∠AEB＝2∠C＝∠B（作AC中垂线得到点E）

总结：策略一和策略二都是当2倍角和1倍角共边时对应的构造方法，下面我们再来看看不在同一个三角形中时该如何处理

策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）

已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，连接AD，∠B＝2∠CAD

A

A

B

C

D

E

辅助线作法：沿AC翻折△ACD得到△ACE

结论：AD＝AE，∠DAE＝∠B，BA＝BE，△ADE∽△BAE

策略四：邻二倍角的处理

已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC上一点，∠BAD＝2∠CAD

辅助线作法：

法一：向外构造等腰（导角得相似）

延长AD到E，使AE＝AB，连接BE

结论：BD＝BE，∠DBE＝∠BAD，△BDE∽△ABE

法二：作平行线，把二倍角转到同一个三角形中

延长AD到F，使CE∥AB，则∠F＝∠BAD

【经典例题讲解】

例题1如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是()

A． B． C． D．

【简析】(1)方法一(常规解法)：如图，连接EF，易证△AEF为等边三角形，

且△ADF≌△ABE(HL)，则DF＝BE，从而CF＝CE，即△CEF为等腰直角三角形；设CF＝x，

则DF＝1－x，AF＝EF＝x，在Rt△ADF中，由勾股定理可得1＋(1－x)2＝2x2，

解得x＝－1(x＝－－1舍去)，故选C；

方法二(倍半角模型)：如图，在边AD上取点P，使AP＝PF，

同上可得△ADF≌△ABE(HL)，则∠DAF＝∠BAE＝15°，从而∠DPF＝30°；设DF＝x，则PD＝x，AP＝PF＝2x，故AD＝(2＋)x＝1，解得x＝2－，∴CF＝－1，选C

例题2如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE，交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为．

【简析】(1)方法一(常规解法)：由题可得∠AFG＝∠DAF＝∠DAE＋∠EAF＝∠BAG＋∠BAF＝∠FAG，即∠AFG＝∠FAG，故FG＝AG＝AE＝2，从而CF＝CG－FG＝6－2；

方法二(倍半角模型)：如图17－2－3，延长AF、DC交于点P，易得∠P＝∠BAF＝∠EAF，则PE＝AE

＝2，故CP＝2－2，DP＝2＋2：又易证△PCF∽△PDA，故，即，

从而CF＝6－；

【反思】方法一的关键是通过导角得到等腰△AFG，方法二由“倍角∠AED”