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七桥问题和一笔画

18世纪时,欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡,那里有七座桥。如

图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结,河中两

支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流

传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最

后回到出发点？大家都试图找出问题的参考答案,但是谁也解决不了这个

问题。

图1图

2

七桥问题引起了著名数学家欧拉的关注。他把具体七桥布局

化归为图2所示的简单图形,于是,七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样

才能从A、B、C、D中的某一点出发,一笔画出这个简单图形〔即笔不离开

纸,而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复〕,并且最后返回

起点？欧拉经过研究得出的结论是：图2是不能一笔画出的图形。这就是

说,七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。

如果我们从某点出发,一笔画出了某个图形,到某一点终止,那么除起点和

终点外,画笔每经过一个点一次,总有画进该点的一条线和画出该点的一

条线,因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次,那么就有2n

条线与该点相连结。因此,这个图形中除起点与终点外的各点,都与偶数

条线相连。如果起点和终点重合,那么这个点也与偶数条线相连；如果起

点和终点是不同的两个点,那么这两个点部是与奇数条线相连的点。综上

所述,一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点,或者其中

只有两个点与奇数条线相连。

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图2中的A点与5条线相连结,B、C、D各点各与3条线相连结,图中有4

个与奇数条线相连的点,所以不管是否要求起点与终点重合,都不能一笔

画出这个图形。

1736年,欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告中,他证明了

上述结论。后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准那么,即欧拉

定理。为了介绍这个定理,我们先来看下面的预备知识：

由有限条线组成的图形叫做网络,其中每条线都要求有两个不同的端点。

这些线叫做网络的弧,弧的端点叫做网络的顶点。例如,图2是一个网

络,a、b、c、d、e、f、g是它的7条弧,A、B、C、D是它的四个顶点。

网络中互相衔结的一串弧叫做一条路。如果网络中任意两个顶点都可以

用一条路连结起来,那么就称这个网络为连通的；否那么称为不连通的。

例如,图2是连通的网络；图3是不连通的网络,其中有的顶点〔例如A与

D〕之间没有路线连结。

图3图4

网络中以某顶点为端点的弧的条数,叫做该顶点的叉数。叉数是奇数的顶

点叫做奇顶点,叉数是偶数的顶点叫做偶顶点。

下面介绍欧拉定理。

欧拉定理如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2,那么它可

以一笔画出；否那么它不可以一笔画出。

用欧拉定理可以很方便地判断一个简单图形是否可以一笔画出。例如,图

3是不连通网络,它不能一笔画出〔尽管它的奇顶点个数为0〕；图4中实

线所示图形有8个奇顶点．它不能一笔画出,如果将图中虚线补为实线,那

么奇顶点只有F和G两个,所得图形就能一笔画出了〔以F为起点,G为终

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点；或G为起点,F为终点〕。

试问以以下列图形能否一笔画出？如能画出应怎样画？如不能画出理由

是什么？

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