2023-2024学年广东省中山一中高二（上）期末数学试卷（含答案）.docx

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2023-2024学年广东省中山一中高二（上）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若直线l的方向向量是e=(1,3)，则直线l

A.π6 B.π3 C.2π3

2.已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,1),n=(1,?1,0)，则这两个平面的夹角为

A.30° B.60° C.60°或120° D.120°

3.直线l1：ax+y?1=0与直线l2：x?ay?1=0的位置关系是(????)

A.垂直 B.相交且不垂直 C.平行 D.平行或重合

4.若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,2)到其焦点的距离是A

A.y2=x B.y2=2x C.

5.在长方体OABC?O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，

A.102 B.105 C.

6.在等比数列{an}中，a?3=32

A.?12 B.12 C.?12或1

7.若直线y=mx+2与焦点在x轴上的椭圆x29+y2n

A.(0,4] B.(4,9) C.[4,9) D.[4,9)∪(9,+∞)

8.双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为x2a2?y2b2=1，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F

A.52 B.5 C.

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知O(0,0,0)，A(1,?1,2)，B(1,?1,?2)，C(1,1,?2)，则下列说法正确的是(????)

A.点A，B关于平面xOy对称 B.点A，C关于x轴对称

C.O，A，B三点构成直角三角形 D.O，A，B三点构成钝角三角形

10.已知直线l：kx?y?k=0与圆M：x2+y2

A.直线l恒过定点(1,0) B.圆M的圆心坐标为(2,1)

C.存在实数k，使得直线l与圆M相切 D.若k=1，直线l被圆M截得的弦长为2

11.欧拉函数φ(n)(n∈N?)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如，φ(1)=1，φ(3)=2，φ(7)=6.下列说法正确的是

A.φ(11)=10

B.数列{φ(n)}为递增数列

C.数列{φ(2n)}为等比数列

D.数列{n?(2

12.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB=AA1

A.当λ1=λ2=λ3=12时，P为正方形B1BCC1对角线交点

B.当λ1+λ2+λ3=2时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a=(2,λ,?3)，b=(1,12,μ)，其中λ，μ∈R，若a

14.数列{an}的通项公式为an=10?2n，(n∈N?)，其前

15.已知点A(?1,0)，B(1,0)，若圆x2+y2?2ax+a2?4=0上存在点

16.设F1，F2是椭圆3x2+4y2=k(k0)的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1P

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

已知圆C经过点(2,0)和(0,2)且圆心在直线x+y=4上．

(1)求圆C的方程；

(2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线l：2x+y+2=0距离的最大值和最小值．

18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，AD=2BC，已知侧棱AP⊥平面ABCD，设点E为棱PD的中点．

(1)证明：CE//平面ABP；

(2)若AB=AP=AD=2，求点P到平面BCE

19.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn+1=3Sn+1，a1=1，其中n∈N?．

(1)证明：数列{a

20.(本小题12分)

马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，D为棚顶，O是棚底地面的中心，AE为棚底直径，AE=AD，△ABC是棚底的内接正三角形，中间的支柱DO=18米，从支柱上的P点向棚底周围拉了4根绳子PA、PB、PC、PE供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从E点沿着绳子PE爬到P点，再沿着PD爬到棚顶，然后从棚顶跳到PA、PB、PC中的某一根绳子上．

(1)当P点取在距离O点36米处时，证明拉绳PA所在直线和平面PBC垂直；

(2)经验表明当拉绳PE所在直线和平面PBC所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问