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博观而约取，厚积而薄发。——苏轼

泛函分析证明题（40个）

1、设X是一个度量空间，{x}X，证明：若当n时，xx且xy，

nnn

则xy。

2、设X,Y是两个赋范线性空间，是的线性子空间D(T)到中的线性算子。

TXY

证明：若在D(T)中某一点x处连续，则在D(T)上连续。

TT

0

3、设M{e}是H空间X上的可列规范正交系，xX，令Cx,e，

nkk





2

（），证明：Ce收敛的充要条件是C收敛。

kN

kkk

k1k1

4、设是H空间上的两个自伴算子。证明：为自伴算子的充要条件为：

T,TXTT

1212

TTTT。

1221



5、设是线性空间，是一个给定的数，xX，令Txx，证明：是线

XT

性算子。

6、设，，令d(x,y)maxx(t)y(t)，证明：是

XC[a,b]x(t),y(t)X(X,d)

atb

一个度量空间。

7、设X是一个内积空间，且xX，令xx,x，证明：x,yX，成立

2222