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第一部分
第一部分
知识笔记
知识笔记
极化恒等式
1定义
122
极化恒等式：a⋅b=(a+b)-(a-b).
4
2说明
(1)极化恒等式的几何意义是：设点D△是ABC边BC的中点，
21222
则AB⋅AC=|AD|-|BC|=AD-BD，
4
即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．
(2)具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问
题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实
现向量与几何、代数的巧妙结合.
(3)遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解
决.
·1·
第二部分
第二部分
题型方法
题型方法
3【典型例题】
1如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上两个三等分点，BA⋅CA=4，BF⋅CF=-1，
则BE⋅CE的值是．
7
【答案】
8
【解析】设BD=x，DF=y
2222
由极化恒等式得BA⋅CA=AB⋅AC=AD-BD=9y-x=4，
2222
BF⋅CF=FB⋅FC=FD-BD=y-x=-1
222221325
解之得可得9a-b=4，a-b=-1，因此x=，y=，
88
4×5137
222
因此BE⋅CE=EB⋅EC=ED-BD=4y-x=-=．
888
2已知ΔABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则PA∙(2PB+PC)的最小值为．
7
【答案】-
3
21
【解析】设2PB+PC=3PD，则PD=PB+PC，D在BC上
33
所以PA∙(2PB+PC)=3PA∙
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