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1.(2014·陕西高考理科·T5)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各
顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()
A.B.4πC.2πD.
【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定
理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.
【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所
在截面圆的半径为R,则+=1可得=;又侧棱长为,所以球心到截面圆
1
的距离d=;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理
得球半径R===1,代入球的体积公式得球的体积为.
2.(2016全国卷Ⅱ文科·T4)·体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面
积为()
32
A.12πB.πC.8πD.4π
3
【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.
【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为23,
所以正
3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T9)已知A,B是球O的球面上两点,∠
AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O
的表面积为()
A.36πB.64πC.144πD.256π
【解题指南】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积
最大,利用V=V列出关于半径R的方程,求出球的半径,然后求出球的
O-ABCC-AOB
表面积.
【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-
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23
ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时V=V=×R×R=R=36,故
O-ABCC-AOB
R=6,则球O的表面积为
2
S=4πR=144π.
4.(2016全国卷Ⅲ·文科·T11)·与(2016全国卷·3理科·T10)·相同在封闭的直三棱柱
ABC-ABC内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA=3,则V的最大
1111
值是()
9π32π
A.4πB.C.6πD.
23
【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时,球已不在直三棱柱内.
【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相
切时,因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半
681039π
径r==2,直径为4侧棱.所以球的最大直径为3,半径为,此时体积V=.
222
方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4π·(
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