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专题：含参函数单调性的讨论策略

张晓辉

【学情分析】

高考分析：

含参函数单调性的讨论在高考中的地位：用函数的导函数正负来讨论函数的单调性，是高中学习函数单调性的重要方法，讨论含参函数单调性的题型几乎每年高考都出现，而学生解答时往往出现讨论不完整、分类标准不明确、书写不规范等问题，通过分析、总结近几年高考真题，抓本质，细步骤，形成一个有章可循、化难为简的解题思路。历年来年高考压轴题中考查了含参函数单调性的讨论问题，在实际教学中发现这也是学习的难点，学生得分率都很低。

学生现状：学生在学习和解答含参函数单调性讨论问题时，往往讨论不完整、分类标准不明确、书写不规范等问题。

主要问题：是函数求导后对含参一次型，含参二次型和其它形式判断导函数正负的分类和判断上遇到问题。

本节课要达到的目标：会求常见函数的导数，解决学生讨论不完整、分类标准不明确、书写不规范等问题。

授课模式：自主探究交流反馈点拨提升运用创造；小组合作学习，归纳提升，限时练习。

教学关键：（1）引导学生寻找分类的标准，做到水到渠成，不死记硬背分类方法；（2)教会学生用数形结合的思想，通过导函数草图判断导函数的正负，进而判断原函数增减。

专题：含参函数单调性的讨论策略导学案

编制人：市三高张晓辉2022.4.19

一、教学目标

1、知识与技能：1.正确理解利用导数判断函数单调性的原理；2.解决求导之后转化为含参数的一元一次型、一元二次型和其它型判断导数的正负问题，掌握不同类型下的不同处理方法.

2、过程与方法：解决在分类讨论时如何确定分类标准、如何展开分类讨论以及讨论后的整合，培养学生数形结合、转化与化归的数学思想.

3、情感态度价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.

二、教学重点与难点

教学重点：解决求导之后转化为含参类型判断导数正负的问题，掌握不同类型下的处理方法.

教学难点：对参数分类讨论的完整性，分类标准明确性，书写规范性等问题.

难点突破：分类的标准，根的大小比较，不同区间导数正负的判断.

三、教学过程

环节一、自主探究

必备的基础知识:

1、函数的单调性与其导函数的正负关系

在某个区间(a,b)内，如果f′(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增，

如果f′(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。

2、求导公式和法则

（1）常见函数求导公式：

（2）复合函数求导法则：

3、一元二次方程求根公式：

4、会分解因式（十字交叉）.

环节二、交流反馈

类型一：求导后出现一次型的

例题1、

变式1、

类型二：求导后出现二次型

（提示：导函数是二次函数，变形为因式积或商的形式，判断导函数的正负，讨论根的情况，再看根是否在定义域内，并比较根的大小）

1、能分解因式的，比较根的大小

例题2、

变式2、（请选做第（1）题）

（1）

（2）

（3）

（4）

2、讨论?的情况

例题3、

变式3、（请选做第（1）题）

（1）

（2）

（3）

3、相当于一根

例题4、

变式4、

类型三：求导后出现非一次型二次型的

例题5、

变式5、（请选做第（1）题）

（1）

（2）

（3）

环节三、点拨提升

详细：含参函数单调性的基本解题思路

1、审题：明确参数的范围并求出函数的定义域；

2、求导并令导数等于零，分析f′(x)=0的方程类型，是一次方程、二次方程还是其它类型；

3、讨论f′(x)=0最高次数是否有参数．分大于零、等于零、小于零进行讨论，最高次不含参数则忽略此步；

4、讨论f′(x)=0是否有实数根．如能因式分解说明方程有实数根，如是二次函数可根据判别式是否大于零进行讨论；

5、讨论f′(x)=0的根是否在定义域内，经常依据根与区间端点大小的比较来讨论，还会用到二次方程根的分布及韦达定理来判断根是否在定义域内；

6、讨论f′(x)=0的根的大小．当根在定义域内时，需比较根的大小关系进行讨论；

7、总结整理，能合并的合并在一起，写出结论，使结论整洁简明.

解题关键点

（1）有没有（2）有几个根（3）根在哪里（4）数轴标根分区（5）图像辅助定单调

七步解题法

1、求导通分定义域；2、分子保留分母“弃”；3、根若无