专题08 倍长中线法和截长补短法综合应用-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）（解析版）.docx

专题08倍长中线法和截长补短法综合应用

倍长中线

类型一：直接倍长中线

△ABC中AD是BC边中线

方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

类型二：间接倍长中线

作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE。

延长MD到N，使DN=MD，连接CN

截长补短

常见类型及常规解题思路：

①可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。

②可以将与构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为的直角三角形等。

截长法常规辅助线：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法常规辅助线：

延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起

类型一：倍长中线法

【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．

【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，

∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE＝AC＝b，

在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

即a﹣b＜2AD＜a+b，

∴＜c＜．

【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．

【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．

∵AD是BC边上的中线（已知），

∴DC＝DB，

在△ADC和△GDB中，

∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴∠CAD＝∠G，BG＝AC

又∵BE＝AC，

∴BE＝BG，

∴∠BED＝∠G，

∵∠BED＝∠AEF，

∴∠AEF＝∠CAD，

即：∠AEF＝∠FAE，

∴AF＝EF．

【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．

【解答】证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．

∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，

∴△BDE≌△CDM（SAS），

∴BE＝CM，

∵DE＝DM，DF⊥EM，

∴FE＝FM，

∵CM+CF＞FM，

∴BE+CF＞EF．

【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为．

【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，

∵D为BC的中点，

∴BD＝CD，

∵∠ADC＝∠BDE，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，

∵AD⊥AC，

∴∠DAC＝90°，

∴∠E＝90°，

∴AE＝＝＝4，

∴AD＝DE＝2，

∴BD＝＝＝，

∴BC＝2BD＝2，

∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．

故答案为：8+2．

【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为．

【解答】解：延长DE至H，使EH＝DE，连接AH，

∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5，

∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，

在△BED和△AEH中，

，

∴△BED≌△AEH（SAS），

∴AH＝BD，∠D＝∠H，

∵AF＝BD，

∴AH＝AF，

∴∠AFH＝∠H，

∴∠CFD＝∠D，

∴CD＝CF＝2，

故答案为：2．

【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为．

【解答】解：如图，延长FD到G使GD＝DF，连接GE，BG，

在△BDG和△CDF中，

，

∴△BDG≌△CDF（SAS），

∴BG＝CF＝，∠GBD＝∠C，

∴BG∥CA，

∴∠EBG＝∠A＝90°，

∵BE＝2，

∴EG＝＝＝，

∵DF⊥DE，DF＝DG，

∴EF＝EG＝，

故答案为：．

【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．

【解答】解：如图，过点F作FM⊥AD于M，交ED于O，

则FM＝AB＝8，

∵BF＝2FC，BC＝9，

∴BF＝AM＝6，FC＝MD＝3，

∴AF＝＝＝10，

∵OM∥AE，

∴，

∵点E为AB的中点