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第二章测度论
引言
实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼(Riemann)积
分进行推广,而建立一种应用范围更广,使用起来更灵活、便利的新的积分理论
即Lebesgue积分理论.
数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数,但随着理论的发
展,Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显,主要表面在以下两个方面:一方
面是对被积函数的连续性要求太强,以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常
简单的函数都不可积;另一方面是应用起来有很大的局限性,这种局限性突出表
现在可积函数项级数的逐项积分,以及可积函数列的积分与极限的可交换性方
面,一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性,而这一要求在实际问题中
常常得不到满足,或虽然满足要想验证又非常的繁复,因此,无论在理论方面还
是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必
要的.
通常对Riemann积分的改进可从两方面着手,一方面是对积分范围划分的改
进。在Riemann积分中,对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”
或“有体积”划分,即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块.
这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于Dirichlet函
数不可积.所以有必要对“有面积或体积”划分的含义进行扩充,即对通常意义
下的“有面积或体积”的集合进行扩充,使之适合于更广的一类集合,由此便产
生了本章要介绍的集合的测度;另一方面是对被积函数进行改进.Riemann积分
中的被积函数对连续的要求很苛刻,以致于函数的连续性稍微不好,就会导致函
数不可积.所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充,使之适合于
更广的一类函数,由此产生了第三章要介绍的可测函数.
本章主要介绍集合的Lebesgue测度,它是通常意义下“面积或体积”概念
的一种推广(即能保持通常意义下“体(面)积”的特性:①非负性;②当集合
为区间时,其测度即为区间的体积;③完全可加性即当{E}为一列互不相交的
i
63
有测度的集合时,的测度恰好为每个集的测度之和).
E
i
i1
§1外测度
一、外测度的定义
记Rn中的开区间Ix(x,x,,x)axb,i1,2,,n其中ab为
12niiiii
有限数.
若上述记号中等号可能出现,则称为区间,显然n1时,即为1上的
IRRIR
区间.
n
另外还规定I(ba)为区间的体积.
I
ii
i1
定义1设n,I是n中覆盖的任一列开区间,即,
ERR
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