捕食者-捕食者模型稳定性分析.docVIP

被捕食者—捕食者模型稳定性分析

【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。

【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性

一、问题重述

在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。

二、问题分析

本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程，并利用数学软件MATLAB求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。

三、模型假设

1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；

2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；

四、符号说明

/——食饵(食用鱼)在时刻的数量；

/——捕食者(鲨鱼)在时刻的数量；

——食饵(食用鱼)的相对增长率；

——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；

——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；

plot(t,x),grid,gtext(x(t)),gtext(y(t))

图1.数值解，的图形

plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

图2.相轨线图形

从数值解及，的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(1250,214)。

下面对其平衡点进行稳定性分析：

由微分方程(3)、(4)

得到如下平衡点:

,,

因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时()才有意义，所以，对而言要求0。

按照判断平衡点稳定性的方法计算：

根据等于主对角线元素之和的相反数，而为其行列式的值，我们得到下表：

平衡点

稳定条件

1

1

不稳定

七、模型分析与检验

1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：

1)对而言，有=，=，故当1时，平衡点是稳定的。

意义：如果稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。

2)对而言，有=，=，故当1时，平衡点是稳定的。

意义：如果稳定，则两物种恒稳发展，会互相依存生长下去。

3)对而言，由于，，又有题知0,0,故0,即是不稳定的。

2.平衡点的检验：

对于平衡点，把前面给出的初始值带入，在这使用MATLAB软件进行简单的求解，在命令窗口输入如下代码：

x(1)=(3500.*(1+1.5))./(1+1.5.*4);

x(2)=(500.*(4-1))./(1+1.5.*4);

[x(1);x(2)]

ans=

1.0e+003*

1.2500

0.2143

把此处求解出的解和前面得出的数值解进行比较可知，平衡点是稳定的。

八、模型的评价与推广

1.模型的评价

自然界中，任何物种即使是捕食者也有自身的阻滞作用，该模型从原始的没带自身阻滞作用模型中加入了阻滞项，使得此模型更接近于生态平衡系统。从此模型中，我们知道两物种同时灭绝是不稳定的，也就是不太可能的，但两种群有一种灭绝一种生存是完全有可能的，两种群共存的可能也是可能的。

2.模型的推广

本文只考虑两物种模型，我们完全可以把此模型推广到三物种的情形。

自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，即系统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后，其内部制约作用会使系统自动回复原状，如恢复原有的周期和振幅，而Volterra模型描述的周期变化状态却不是结构稳定的。要得到能反映周期变化的结构模型，要用到极限环的概念

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊．数学模型,高等教育出版社.2003年

[2]冯杰，黄力伟，王勤.《数学建模原理与案例》科学出版社，2007年1月