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高中数学向量的数量积
一、考点突破
知识点课标要求题型说明
1.了解向量的夹角、向量垂
直、向量投影等概念；
向量的数量积是向量的
2.理解平面向量数量积的含
运算中最重要的一种运算,
向量的数量积义、几何意义及坐标表示；填空
尤其是垂直、平行、求模求夹
3.掌握坐标运算公式；
角等是考试的热点
4.解决长度和角度,平行与垂
直的问题
二、重难点提示
重点：平面向量数量积的含义及其几何意义；用向量的坐标求数量积、向量的模及两个
向量的夹角,会判断两向量间的垂直关系；
难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题；运用向量法与坐标法解决有
关问题。
一、平面向量的数量积及性质
OAOB
〔1〕两个向量的夹角：对于两个非零向量a和b,记作＝a,＝b,那么∠AOB＝θ
叫作向量a与b的夹角,其范围是0°≤θ≤180°,当θ＝0°时,a与b同向；当θ＝180°时,a与b
反向；当θ＝90°时,称向量a与b垂直,记作a⊥b。
〔2〕向量的数量积：两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量a|||b|cosθ叫作
向量a和b的数量积〔或内积〕记作ab·,即ab·＝a|||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积
为0。
【要点诠释】
两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算
是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,绝不可混淆。
〔3〕向量的数量积的性质及作用
设a和b是非零向量,a与b的夹角为θ。
①a⊥b等价于ab·＝0,此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系。
②当a与b同向时,ab·＝a|||b|,当a与b反向时,ab·＝－a|||b|,即当a与b共线时,|ab·|
＝a|||b|,此性质可用来证明向量共线。
22a2
③aa·＝a＝a||或a||＝,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算
的相互转化。
ab
④cosθ＝,此性质可求a与b的夹角或直线的夹角,也可利用夹角取值情况建立
ab
方程或不等式用于求参数的值或范围。
〔4〕向量的数量积的运算律
向量a,b,c和实数λ。
①ab·＝ba·；
②〔λa〕b·＝a·〔λb〕＝λ〔ab·〕＝λab·；
③〔a＋b〕·c＝a·c＋b·c。
第1页
【要点诠释】
平面向量的数量积不满足结合律。
二、平面向量的数量积的坐标表示及长度、夹角、垂直的坐标表示
〔1〕a(x,y),b(x,y)那么abxxyy。
11221212
〔2〕长度、夹角、垂直的坐标表示
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