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两条直线的位置关系及其判定

教学目标

(1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件,能够根据直线的方

程判断两条直线的位置关系.

(2)理解一条直线到另一条直线的角的概念,掌握两条直线的夹

角.

(3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标.

(4)掌握点到直线距离公式的推导和应用.

(5)进一步掌握求直线方程的方法.

(6)进一步理解直线方程的概念,理解运用直线的方程讨论两条直

线位置关系的思想方法.

(7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求,培养学生发散

思维能力,理解数形结合的思想方法.

教学建议

一、教材分析

1.知识结构

2.重点、难点分析

重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线

的距离.

难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概

念和点到直线距离公式的推导.

本节内容与后边内容联系十分紧密,两条直线平行与垂直的条件

和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用,因此非常重要.

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(1)平行与垂直

①平行

在讨论两条直线平行的问题时,教材先假定了两条直线有斜截式

方程,根据倾斜角与斜率的对应关系,将初中学过的两直线平行的充要

条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言,用斜率和截距重

新加以刻画,教学中应注意斜率不存在的情况.

②垂直

教材上将直线的斜率转化成方向向量,然后利用向量垂直的条件

推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况,两条直线垂直的充要

条件可表达为：或一个为0,另一个不存在.

(2)夹角

①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三

个概念.

到的角是带方向的角,它是指按逆时针方向旋转到与重合时所

转的角,它与到的角是不同的,如果设前者是,后者是,那么+=.

与所夹的不大于的角成为和的夹角,夹角不带方向.

当到的角为锐角时,那么和的夹角也是;当到的角为钝角

时,那么和的夹角也是.

②在求直线到的角时,应注意分析图形的几何性质,找出

与,的倾斜角,关系,得出或,然后由,联想差角的正切公式,

便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示,推导出.

再由与的夹角与到的角之间的关系,而得出夹角计算公式

这种把“形〞转化为“数〞的方法,是解析几何的根本方法,要

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认真揣摩.

③对于以上两个求角公式,在解决实际问题时,要注意根据具体

情况选用.

(3)交点

①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题,这

可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解.

②在同一平面内,两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合,

相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有惟一解、无

解、无数多个解.但在实际判定时,利用直线的斜率和截距更方便.假

设,,那么：

与相交;

且;

与重合且.

(4)点到直线的距离

①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具.教科

书借助于直角三角形的面积公式,推导出点到直线的距离公式.在推导过

程中,把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算,转化为与坐标轴

平等或垂直的线段长度的计算,从而简化了运算过程.

②利用点到直线的距离公式可推出两平行线,间的距离公式：.

③点到直线距离公式的推导,有多种方法,应鼓励同学们思考,

下面介绍一种较简便的方法.