专题1-3 “12345”模型·选填压轴必备大招(共3种类型)(解析版) .docx

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专题1-3“12345”模型·选填压轴必备大招(共3种类型)

目录

TOC\o1-3\h\z\u知识点梳理 1

例题演练 4

【例1·性质一】 4

2022黔东南州 5

【例2·性质二】:“345”三角形与倍半角 7

【例3·其它角的配凑】 9

【压轴题实战篇】一题多解 9

重点题型·归类精练 12

题型一:【性质一】·专练 12

2022乐山 12

2021宜宾 12

2022黔东南州中考数学真题 13

题型二【性质二】解题:“345”三角形与倍半角 23

2023·湖北黄冈·统考中考真题 24

2022·四川泸州·统考中考真题 29

2022北部湾经济区 30

2023·四川广元·统考中考真题 38

2023·呼和浩特·中考真题 38

题型三:其它特殊角的配凑与正切和角公式的运用 40

2023·内蒙古·统考中考真题 40

深圳中考真题 43

知识点梳理

导语:在众多几何模型中,“12345”模型就像夜空中的木星一样明亮而璀璨,是中考解题的顶级神器,需要我们不断钻研、锤炼。初中几何,直角三角形具有举足轻重的地位,贯彻初中数学的始终,无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆,都离不开直角三角形。而在直角二角形中,345的三角形比含有30°的直角二角形的1::2以及含有45°的直角三角形的1:1:更加特殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊,更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1:2:及1:3:),综合性非常大,深受命题老师的喜爱。

12345模型介绍:若,,

【性质一】; 【性质二】; 【性质三】;

【简证】

如图,在3×3的网格中标出了∠1和∠2,则∠1+∠2=

【图解】

如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD是BC边上的高,BD=3,DC=2,AD的长为 .

第2题 第3题

A(0,6)B(3,0)在x轴上有一点P,若∠PAB=45°,则P点坐标为.

【“123”+“45”的来源】——构造倍半角

(一)基本模型

A

A

B

C

D

E

已知:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点D在CA的延长线上,点E在CB的延长线上,且AD=BE=AB.

结论1:∠D+∠E=45°.

结论2:tan2∠D=,tan2∠E=.

结论3:tan∠D=,tan∠E=.

因为在,,45°中出现数字12345,所以这种模型叫做12345模型.

(二)结论推导

结论1:∠D+∠E=45°

证明:∵AD=BE=AB,∴∠ABD=∠D,∠BAE=∠E,

∴∠BAC=2∠D,∠ABC=2∠E.

∵∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,

∴2∠D+2∠E=90°,∴∠D+∠E=45°.

结论2:tan2∠D=,tan2∠E=.

证明:∵∠ACB=90°,∴tan2∠D=tan∠BAC==,

tan2∠E=tan∠ABC==.

结论3:tan∠D=,tan∠E=.

证明:∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB==5,

∴AD=BE=AB=5,∴CD=8,CE=9,

∴tan∠D===,tan∠E===.

(三)解题技巧

如果题目中出现角的正切值或直角三角形的两条直角边的比为,,,,或45°配,时(对于角α和β,若满足α+β=45°,tanα=,则一定有,tanβ=,并且这三个式子,只要满足其中任意两个,都可以推出第三个),则考虑使用12345模型,将45°,90°,135°这几个特殊的角度联系起来,简化此类选择题或填空题的运算.12345模型在中考题中常以选择题或填空题的形式出现

除此之外,还能得出,你看出来了吗?

【补充】其它角度配凑与正切和差公式

“”+45°=“”和“”+45°=“”

正切和差公式:

实战练习例题演练

实战练习

【例1·性质一】

如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点,将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE长是()

A.1????B.1.5????C.2????D.2.5

【答案】C

【解析】根据BG是AB的一半,可得tan∠BAG=12,连接AE,易证△AEF≌△AED,∴tan∠DAE=1/3,∴

【变式1-1】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,BE=2,则DF的长为_________.

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