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课题：垂直于弦的直径

【学习目标】

1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．

2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题,并会解决一些实际问题．

【学习重点】

圆的对称性、垂径定理、推论及其应用．

【学习难点】

利用垂径定理进行计算或证明．

【导学流程】

一、情景导入感受新知

问题1：请同学们把手中圆对折,你会发现圆是一个什么样的图形？

问题：请同学们再把手中圆沿直径向上折,折痕是圆的一条什么呢？通过观察,你能发现直径与这条折痕的关

系吗？

这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质．(板书课题)

二、自学互研生成新知

【自主探究】

阅读教材P～P上面的文字,完成下面的内容：

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活动1：

①操作：用纸剪一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径所在直线对折,重复几次．

a．通过上面的折纸,圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？

是轴对称图形,有无数条对称轴．

b．“圆的任意一条直径都是它的对称轴〞这种说法对吗？假设不对,应该怎样说？

不对,应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴．

②猜测：圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．

③证明：怎样证明圆是轴对称图形呢？

a．要证圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上．

活动2：

①垂径定理：

︵︵︵︵

a．思考：沿直径CD所在直线折叠,线段AM与A′M重合.AC,AD分别与A′C,A′D重合．

︵︵︵︵︵︵

因此,AM＝A′M,AC＝A′C,AD＝A′D.即直径CD平分被AA′,并且平分AA′,平分ACA′．

b．归纳：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．

②垂径定理的推论：

a．思考：假设把条件“直径CD⊥弦AA′于M〞改为“直径CD平分弦AA′于M〞,那么图形是否还是轴对称

︵︵︵︵

图形？∠AMC与∠A′MC相等吗？AC＝A′C与AD＝A′D还成立吗？试折纸验证一下．

结论都还成立．

b．反例：当弦AA′为直径时,结论还成立吗？为什么？

不成立,因为任意两条直径都互相平分,但不一定垂直．

c．限定：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．

师生活动：

第1页

①明了学情：了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误．

②差异指导：依据学情进行个别指导或分类指导．

③生生互助：小组内相互交流研讨、订正结论．

三、典例剖析运用新知

【合作探究】

典例1：如图,⊙O的半径为1,弦AB的长为3,求圆心O到弦AB的距离．

解：如图,作OE⊥AB,垂足为E,那么OE垂直平分AB.

13

∴AE＝BE＝AB＝.

22

3211



222

在Rt△AOE中,OE＝OA－AE＝1－＝,即圆心O到弦AB的距离为.

22

2

变式：如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为2米,净高5米,求圆拱形门所在圆的半径是多少米？

解：连接OA.

∵CD⊥AB