精品解析：山东省青岛市2023-2024学年高二上学期期末学业水平检测数学试题（解析版）.docxVIP

2023-2024学年山东省青岛市高二上学期期末学业水平检测数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角．

【详解】设直线的倾斜角为，，

由直线的一个方向向量为，得，

则.

故选：C．

2.已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（）

A. B.或 C.或 D.或

【答案】C

【解析】

【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解．

【详解】，

，

由与互相垂直，

有，

解得或．

故选：C．

3.已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得，，由，解得，可得，求出渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．

【详解】由题意可得，，焦点为，

则，解得，又，

则双曲线的渐近线方程为，

则焦点到渐近线的距离为．

故选：B．

4.正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（）

A. B. C.1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】用表示出，再求数量积．

【详解】因为E，F，G分别是的中点，四面体是正四面体，且棱长，

所以

.

故选：D．

5.点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（）

A.与无关 B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【详解】设点，，

因为动点在椭圆上，则，

因为点到直线的距离为，所以，

又，

所以

．

故选：C．

6.过三点，，的圆交轴于，两点，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，则圆的方程可得，令，即可得出结果．

【详解】设圆的方程为，

则?

，，，

∴，

令，可得，

?，

?．

故选：D．

7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可分析出数列是首项为2，公差为3的等差数列，利用等差数列的前项和公式化简，结合对勾函数的单调性可知最小值．

【详解】解：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3的等差数列，

所以，

所以，

由对勾函数性质可得：

函数在上单调递减，在上单调递增，又为正整数，

所以最小值为，

故选：B

8.已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（）

A.准线的方程是 B.以为直径的圆与轴相切

C.的最小值为 D.的面积最小值为

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线方程，结合准线定义即可判断A；当直线斜率不存在时，计算可得此时以为直径的圆不与轴相切，即可判断B；对于CD：分直线斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解．

【详解】对于A：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误.

对于B：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得，

则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故B错误.

对于C：当直线的斜率不存在时，易得，，；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

由，得，

得，，，

，

易知直线的方程为，由，得，

，，

综上所得，的最小值为，故C正确．

对于D：当直线的斜率不存在时，易得，，

所以；

当直线的斜率存在时，，

故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误．

故选：C．

二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.为调研某地空气质量，连续天测得该地是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则（）

A.这组数据的极差为 B.这组数据的众数为

C.这组数据的中位数为或 D.这组数据的第百分位数为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据极差的概念通过计算即可判断A；对这组数据重新排序，再根据众数的概念计算即可判断B；对这组数据重新排序，再根据中位数的概念计算即可判断C；求出这组数据的第百分位数即可判断D．

【详解】对于A，极差为，故A正确；

对于B，这组数据从小到大依次是：，，，，，，，，，，

所以众数为，故B正确；

对于C，这组数据从小到大依次是：，，，，，，，，，，

所以中位数为，故C错误；