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2022级高二上学期第一次阶段性考试
数学试题
一、选择题:本题共8小题、每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线的一个方向向量是()
A B. C. D.
2.已知复数,则的虚部为()
A.2 B. C. D.
3.两条不同直线的方向向量分别为,则这两条直线()
A.平行 B.垂直 C.异面 D.相交或异面
4.同学们,当你任意摆放手中笔的时候,那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
5.是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角均为,那么直线与平面所成角的余弦值是()
A. B. C. D.
6.如果直线先沿轴负方向平移2个单位长度,再沿轴正方向平移2个单位长度后,又回到原来的位置,那么直线的斜率是()
A-2 B.-1 C.1 D.2
7.直线过点且与以点、为端点的线段恒相交,则的斜率取值范围是()
A. B.
C. D.
8.如图,在正方体中,点E是上底面的中心,则异面直线与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分、在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知均为复数,则下列结论中正确的有()
A.若,则 B.若,则是实数
C. D.若,则是实数
10.已知平面的法向量为,点,点,若∥平面,则的值为()
A. B.1 C.2 D.
11.下列说法正确的是()
A.直线的倾斜角为120°
B.经过点,且在x,y轴上截距互为相反数的直线方程为
C直线l:恒过定点
D.已知直线l过点,且与x,y轴正半轴交于点A?B两点,则△AOB面积的最小值为4
12.若将正方形沿对角线折成直二面角,则下列结论正确的有()
A.与所成的角为 B.与所成的角为
C.与平面所成角的正弦值为 D.平面与平面所成角的正切值是
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13设,则=___________.
14.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________.
15.在四面体中,两两垂直,是平面内一点,且点到其他三个平面的距离分别是2,3,6,则点到顶点的距离是________.
16.已知正四面体的棱长为6,P是四面体外接球的球面上任意一点,则的取值范围为________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.某同学在解题中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
①;②;③(虚数单位).
(1)从三个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个复数恒等式(不用证明).
18.(1)如果直线l经过点,且直线l的法向量为,求直线l的方程;
(2)已知直线与直线垂直,求的值.
19.如图,在平行六面体中,以顶点为端点的三条边的长度都为1,且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值.
20.已知是虚数单位,复数满足.
(1)求的最大值;
(2)若为实数,求复数.
21.如图,在四棱锥中,平面,底面为直角梯形,且,,,,为上一点.
(1)若为中点,求证:平面
(2)若点不与和重合,且二面角的余弦值为,求与平面所成角的正切值.
22.筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形.如图,四边形是一个筝形,,,,沿对角线将折起到点,形成四棱锥.
(1)点为线段中点,求证:平面;
(2)当时,求直线与平面所成角的正弦值.
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