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2024年研究生考试考研管理类综合能力(199)复习试题及答案指导

一、问题求解题（本大题有15小题，每小题3分，共45分）

1、某公司计划在五年内投资1000万元用于研发新产品，公司希望在第一年投资额为总投资额的20%，在第五年投资额为总投资额的10%。假设每年投资额按照等比数列增长，若第一年投资额为100万元，则第五年的投资额是多少万元？

答案：250万元

解析：

由题意知，第一年投资额为100万元，是等比数列的第一项a1，公比设为q。总投资额为1000万元，第五年的投资额为等比数列的第五项a5。

根据等比数列的性质，我们有：

a1=100万元a5=a1*q^4

总投资额=a1+a2+a3+a4+a5=1000万元

由题意得：

a5=1000*10%=100万元

因此，我们可以列出等比数列的公式：

100=100*q^4

解得：

q^4=1

由于等比数列的公比q不能为1，我们排除q=1的情况。因此，等比数列的公比q不存在实数解，所以第五年的投资额无法计算。题目中的条件存在矛盾，无法得出正确答案。

2、某公司计划投资一项新项目，该项目需要连续投入资金三年，每年的投入金额分别为：第一年100万元，第二年150万元，第三年200万元。公司预计该项目第三年末可以带来总收益500万元。若公司要求项目投资回报率不低于10%，则公司至少需要从第四年开始每年追加投资多少万元，以保证项目在整个投资期间的平均回报率达到10%？

答案：100万元

解析：

首先，计算三年总投资额：

第一年投资：100万元

第二年投资：150万元

第三年投资：200万元

总投资额=100+150+200=450万元

公司期望的平均回报率为10%，因此三年总收益至少应为：

期望总收益=总投资额×平均回报率=450万元×10%=45万元

实际上，公司预计的第三年末总收益为500万元，这意味着前三年实际总收益为：

实际总收益=500万元

为了使整个投资期间的平均回报率达到10%，公司从第四年开始每年需要追加的投资额应使得整个投资期间的收益达到期望的总收益。

设从第四年开始每年追加的投资额为X万元，则第四年的投资额为X万元，第五年的投资额也为X万元。因此，第四年和第五年的总投资额为2X万元。

整个投资期间的总收益为实际总收益加上从第四年开始的追加投资额带来的收益，即：

总收益=实际总收益+追加投资额带来的收益=500+2X

为了达到期望的总收益，我们有：

500+2X=450+452X=45X=22.5

但是，由于追加投资额通常以整数万元计算，所以公司至少需要追加100万元（向上取整到最接近的整数）的投资，以保证整个投资期间的平均回报率达到10%。

3、一家公司计划为员工提供额外的培训，以提升团队的整体能力。如果每个员工参加一次培训的成本是120元，并且公司愿意投入最多6000元来组织这次培训活动。假设公司希望尽可能多的员工参加培训，但同时也要保证至少有5名管理人员参与，而管理人员的培训费用为普通员工的两倍。请问，在不超过预算的情况下，最多有多少名员工（包括管理人员）可以参加此次培训？

答案：设普通员工人数为x，管理人员人数为y，则有以下条件：

1、每个普通员工的培训成本为120元；

2、每个管理人员的培训成本为普通员工的两倍，即240元；

3、管理人员最少需要5人，即y≥5；

4、总成本不得超过6000元，即120x+240y≤6000。

为了使参加培训的人数最大化，我们需要在满足上述条件下求解x+y的最大值。由于y至少为5，我们可以首先计算当y=5时，剩余预算能够支持多少名普通员工参加培训。

将y设置为最小值5，则用于管理人员的费用为240*5=1200元。因此，剩余预算为6000-1200=4800元。用这4800元来支付普通员工的培训费，每名员工120元，则可得出最多能有4800/120=40名普通员工参加培训。

所以，当有5名管理人员和40名普通员工参加培训时，总共有45人参加培训，这是在给定预算下的最大可能人数。

解析：此题考察的是线性规划问题中的资源分配问题。通过设定变量并根据题目条件建立不等式组，再利用边界条件（如本题中的最低管理人员数量要求）求解最优解。在这个案例中，我们优先考虑了满足管理人员最低数量的要求，然后用剩下的预算尽可能多地安排普通员工参加培训，从而实现了在预算范围内让最多的员工参加培训的目标。

4、一个班级共有30名学生，其中有20名学生参加了数学竞赛，15名学生参加了英语竞赛，10名学生同时参加了数学和英语竞赛。请问，有多少名学生既没