选修2-2第2章第2节直接证明与间接证明(理)(学案含答案).pdfVIP

年级高二学科数学版本苏教版〔理〕

课程标题选修2-2第2章第2节直接证明与间接证明

一、学习目标：

1.了解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、

特点。

2.了解间接证明的一种根本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

二、重点、难点

重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。

难点：运用分析法、综合法提高分析问题和解决问题的能力。

三、考点分析：

对两种直接证明方法的考查在选择题、填空题和解答题中都有出现,单纯的考查并不常

见,作为解决问题的工具,与其他知识综合运用的特点比拟突出。它可以和很多知识,如函

数、数列、三角函数、导数等相联系,证明时不仅要用到不等式的相关知识,还要用到其他

数学知识、技能和技巧,而且还考查了运算能力,分析问题和解决问题的能力。对于反证法

很少单独命题,但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断那么经常用到,有独到之处。

三种证明方法的定义与步骤：

1.综合法是由原因推导到结果的证明方法,它是利用条件和某些数学定义、公理、定理等,

经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。

2.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,

直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件〔条件、定义、公理、定理等〕

为止的证明方法。

3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而

证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。用这种方法证明一个

命题的一般步骤：〔1〕假设命题的结论不成立；〔2〕根据假设进行推理,直到推理中导出矛

盾为止；〔3〕断言假设不成立；〔4〕肯定原命题的结论成立。

知识点一：综合法



例1对于定义域为0,1的函数f(x),如果同时满足以下三个条件：①对任意的

x0,x0,xx1

x0,1,总有f(x)0；②f(1)1；③假设,都有

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f(xx)f(x)f(x)成立,那么称函数f(x)为理想函数。

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f(x)f(0)

〔1〕假设函数为理想函数,求的值；

x

g(x)21x[0,1]

〔2〕判断函数〔〕是否为理想函数,并予以证明。

思路分析：〔1〕取xx0可得f(0)f(0)f(0)f(0)0。由此可求出f〔0〕

12

x

的值。〔2〕g(x)21在[0,1]满足条件①g(x)0；也满足条件②g(1)1。假设

x0,x0,xx1,满足条件③,收此知故g〔x〕理想函数。

1212

解题过程：〔1〕取xx0可得f(0)f(0)f(0)f(0)0。

12

又由条件①f(0)0,故f(0)0。

x

〔2〕显然g(x)21在[0,1]满足条件①g(x)0；

也满足条件②g(1)1。假设x0,x0,xx1,那么

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xx