人教版选修21第三章两个向量的数量积讲义.pdf

案例〔二〕——精析精练

课堂合作探究

重点难点突破

知识点一两个向量夹角

abab

空间两个向量与的夹角的定义与平面内向量与的夹角的定义类似。〔1〕定义：

abOOAa,OBbAOBab

两个非零向量,在空间任取点,作,如以下图,那么叫做向量与的夹角,





记作a,b。〔2〕a,b的取值范围：0a,b,在这个规定下,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且



a,bb,aa,b90abab

。〔3〕如果,那么称与互相垂直,记作。

知识点二异面直线及两异面直线所成角

异面直线：把不同在任一平面内的两条直线叫做异面直线。

两条异面直线所成的角：把异面直线平移到一个平面内,这时两条直线的夹角〔锐角或直角〕叫做两条异面直线

所成的角,如果所成的角是直角,那么称两条异面直线互相垂直。

点拨〔1〕两个向量的夹角是将表示两个向量的有向线段的起点重合而形成的角。



0,90

（2）两条相交直线的夫角是指这两条直线所成的锐角或直角,即取值范围是,而向量的夹角可以是



钝角,其取值范围是0,180。

知识点三两个向量的数量积



〔1〕定义：空间两个向量a,b,总可以把它们平移到一个平面内,把平面向量的数量积ababcosa,b叫

做两个空间向量a,b的数量积〔或内积〕。

〔2〕两个向量的数量积是一个实数,这个实数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关。其关系为：①



0a,b90ab0a,b90ab090a,b180ab0

当时,；②当时,；③当时,。

〔3〕空间两个向量的数量积的性质：

性质作用



①aeacosa,e理解数量积的几何意义

②abab0解决有关两向量垂直的问题

22

③aaaa可以进行数量积的运算与模的转化

④abab比拟大小或证明不等式

〔4〕空间两个向量的数量积的运算律：①〔a〕・b=A〔a・b〕；



②交換律：abba；③分配律：abcacbc。

典型例题分析

题型1空间向量数量积的定义



a3,b4,a,b120

【例1】〔1〕空间向量a,b满足,试求3