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《漫谈小概率事件》教案

一、人们的生活中也能看见小概率事件的存在，而且经常应用到小概率事件的实际不可能原理，因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生，对小概率事件听之任之、不闻不问；另一种是更愿意承认小概率事件的发生，整日处于杞人忧天或守株待兔的境界。本文通过实例，用辩证思维方法来阐述小概率事件原理的应用。

二、概率论与小概率事件

概率论最早起源赌博问题。17世纪中叶，法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.deFermat）及荷兰数学家惠更斯（C.Huygens）等基于排列组合方法，解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”，于是出现了概率论。18～19世纪，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间的相似性，从而概率论被广泛应用到这些领域，大大推动了概率论的发展。瑞士数学家贝努利（建立了概率论中的第一个大数定律。随后，经过数学家们不断深入的研究，概率论的理论逐渐成熟。概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等方面的应用价值体现越来越广泛，现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系。

概率论是研究随机现象统计规律的一门科学。概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。随机事件A发生的概率一般用表示，并规定。对于概率值很接近于1的事件，其对立事件的概率必然很接近于0。

在概率论中，我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件。

那么多大的概率值算小概率呢？

这要根据具体情况而确定：对于某些非常重要的试验（场合），当事件的发生会产生严重后果（如飞机失事、沉船等）时，应选得小一些如0.0001，甚至更小一些；否则可以适当大一些。一般多采用0.01、0.005这两个值：即事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件称为小概率事件。而0.01、0.005这两个值称为小概率标准。

三、小概率原理及其推断方法

（一）小概率原理

定理一(贝努利大数定律）：在次独立重复试验中，记事件发生的次数为。是事件Ａ发生的概率。则对于任意正数＜0，有

或

根据贝努利大数定律，事件发生的频率/依概率收敛于事件发生的概率。就是说，当很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性非常小。假如某事件发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替概率。倘若某事件发生的概率很小，则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小。

例如，若＝0.001，则大体上在1000次试验中，才能出现1次。因此，概率很小的事件在一次试验中不大可能发生。在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。实际不可能事件在一次试验中实际上是不可能发生的。这就是小概率原理，也称为小概率的实际不可能性原理。它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理。

小概率事件迟早会发生。小概率事件在一次试验中实际不会发生，并不代表它永远都不会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多，那么小概率事件将会发生。下面我们将说明这一结论。在随机试验中，设事件出现的概率为，设表示“在第次试验中出现”，则，，在前次相互独立的试验中一次都不出现的概率为，则在前次相互独立的试验中至少出现一次的概率为，无论如何小，当时，，这说明小概率事件迟早会发生。

（二）小概率推断方法

小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是首先提出假设，其次根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出判断。若导致不合理现象出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设。

小概率原理在概率论中并不占有多么重要的地位，但却是一个简单、基本而且颇有实用意义的原理，在我们的日常生活中有着很广泛的应用。小概率原理常常在不经意间指导人们的实际生活。因为人们坚持这样一个信念：小概率事件在1次试验中是不会发生的。如果居然发生了，绝不会认为是必然现象，而认为是一定有着某些偶然因素。这就是人们为什么在明知道有飞机失事发生，仍然敢于乘飞机旅行、出差的原因。

但也有相反的情况：即人们更愿意承认小概率事件的发生。例如在福利彩票、体育等的发行过程中，尽管人们知道中大奖的机会几乎为0，但人们购买的热情依然很高。这里，当然有人们愿意为福利事业、体育献爱心的一面，但最主要的因素是人们期望小概率事件在一次试验中发生（购买几张彩票就中大奖）的侥幸心理作祟。

四、小概率事件和不可能事件之间的区别和联系

概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。