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舍菲尔德影响问题解决的四要素

一、影响数学问题解决的因素

影响问题解决的要素是指对问题解决过程有着较大影响的一些成分。因为问题解决是一个复杂的心理过程，它需要学生必须对问题的条件进行加工处理，从认识问题的基本关系与特征开始重新组织已知概念、定理，调节问题中基本元素的关系，探索和猜测问题解决的策略和方法。因此，影响问题解决的因素有很多，如知识、经验、动机、信心、思维能力、元认知等，总体说来，可归为以下三类：

（1）经验因素，包括解题者的个人特征和问题的情境要素。如知识结构、关于解题策略的熟悉程度、问题的陈述方式等。

（2）认知因素：如直觉、想象、抽象、概括、推理、分析、综合、元认知等多种智力因素。

（3）情感因素：如关心、欲望、动机、兴趣、意志、信念等非智力因素。

经验因素、认知因素和情感因素三者之间并没有严格的界限，它们是相互联系，相互补充和制约的，其关系如图2—3：

二、舍菲尔德影响问题解决的四要素

1974年秋天，正在从事拓扑和测度论研究的舍菲尔德，阅读了波利亚的名著《怎样解题》。他惊奇地发现，书中所描述的问题解决策略与他在数学研究中所采用的策略竟是如此的相似。这使他非常兴奋，同时也感到十分的遗憾：波利亚的书1945年就出版了，但是那些有用的策略在他的学生时代竟然没有人介绍过,如果有人在他大学一年级时就介绍这本书，那他就可以少走许多弯路。

第二天，他问一位担任普特南数学竞赛培训工作的同事是否用波利亚的书，得到的回答是：“没有，它没什么用。”这使他很惊讶，他知道这位同事在数学竞赛培训上卓有成效，他说的话也许不无道理；但同时，他也肯定波利亚作了一件很有价值的事。他觉得这中间一定存在着分歧。

从那时起，两个问题一直萦绕在他的脑中：

程、交点与解都成为同一研究对象的不同侧面，或不同表达方式，而不是不同的对象。

（2）探索方法

即处理非熟悉或者非常规问题的策略与技术，是影响问题解决的重要要素。包括画出图形、引进适当的符号、探索相关的问题、重新表述问题、进一步考虑、试验与确定程序等。

舍菲尔德在《数学解题》中，不但结合解题的过程详细地指明了各阶段的探索法则（请参考第三节），还集中地对如何使“探索法”具体化的问题进行了探讨。舍菲尔德指出：对某一探索法则进行描述以使学生能认出并欣赏这一法则的应用，并不等于学生本人即能有效地应用这一法则去解决问题。事实上，后者要比前者困难得多；但这却又正是“探索法”教学(更为一般地说，就是数学教学)所应实现的目标。舍费尔德认为，为了实现这一目标，“探索法”的教学就应更为细致。

例如，为了帮助学生较好地掌握“特殊化”的方法，舍费尔德列举了如下例子：

例2—4：两个边长为5的正方形叠合放置，其中一个的中心恰好位于另一个的一个顶点之上，试确定重合部分的面积的可能范围？

考虑特殊情形，即如图2—4、图2—5所示的情况

（3）调控

调控是指对于所从事的解题活动的自我意识、自我分析和自我调整，有人也称为元认知。包括解题者运用已有知识的效率；认识资源和解题策略的选择；对整个解题过程的调节、监控与评价。可以说对“调控”的突出强调，是波利亚以来“问题解决”理论研究所取得的重要进展之一。

元认知(metacognition，又译为反省认知)，是描述个人对自己认知过程的自我意识和自我调节、监控的术语。这一术语最初是由弗雷威尔提出的，它强调信息加工过程中个人的主观意识。元认知对整个加工过程起到控制、执行的功能，是影响个体能否有效地加工信息、解决问题的关键。正因为如此，它受到心理学家越来越多的重视，以至斯腾伯格提出的智力成份理论将元认知作为一个重要的成份。

舍菲尔德通过学生和数学家实际解题过程的比较研究发现：学生往往不加思考地采取某一方法或解题途径，或总是在各种“可能的”解题途径之间徘徊，却始终未能构思出一个较为明确的解题方案；另外，在沿着某一解题途径走下去时，则又往往不能对自己目前的处境做出清醒的评估并由此而做出必要的调整，而只是“一股劲地往前走”直至最终陷入了僵局，而一无所获。与此相反，数学家在具体采用某一方法或解题途径前，往往对各种可能经过了仔细的考虑；在整个解题过程中显得“心中有数”，即清楚地知道自己在干什么和为什么这样干；他们并能对目前的处境做出清醒的评估，并由此去做出必要的调整。即使在出现错误的情况下，他们也不会简单地抛弃已有的工作，而是力图从中吸取有益的成分；最后，在成功地解决了问题以后，他们又能自觉地对所进行的工作进行回顾，特别是考虑是否还存在更有效的解题途径。由此表明“调控”的在问题解决中的重要性。

（4）观念系统

既解题者对数学本质及如何思考的总体看法，包括解题者关于数学；关于自己；关于环境；关于课题等的认识，也可以说是一个人的“数学世界观”。其中不仅涉及到了对于“什么是数学”、“应当怎样去从事数学研究”、“