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2024-2025学年福建省三明市高二上学期期中联考数学检测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题。(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。)
1.直线的一个方向向量为(????)
A. B. C. D.
2.已知空间向量,若,则实数的值为(???)
A. B. C. D.
3.已知点、,直线经过的中点且在两坐标轴上的截距相等,则直线的倾斜角等于(????)
A.或 B.或 C.或 D.或
4.如图,在平行六面体中,为与的交点,若,,,则下列向量中与相等的向量是(????)
A.B.C. D.
5.已知双曲线,过点的直线与双曲线交于两点,若线段的中点是,则双曲线的离心率为(????)
A. B. C. D.
6.已知,是圆上两点,且,若直线上存在点使得,则实数的取值范围为(????)
A.B.C.D.
7.如图所示,点F是抛物线的焦点,点A,B分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则的周长的取值范围是(???)
A. B. C. D.
8.三棱锥中,底面是边长为2的正三角形,,直线AC与BD所成角为,则三棱锥外接球表面积为(???)
A. B. C. D.
二、选择题。(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.)
9.已知曲线Γ:(),则(????)
A.Γ可能是等轴双曲线
B.若Γ表示焦点在y轴上的椭圆,则
C.Γ可能是半径为的圆
D.若Γ表示焦点在x轴上的双曲线,则
10.在正方体中,,,则(????)
A.若,则点的轨迹为线段
B.若,则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段
C.若,则三棱锥的体积为定值
D.若,则与平面所成角的余弦值的最大值为
11.已知曲线,点在曲线上,则下列结论正确的有(???)
A.曲线有4条对称轴 B.曲线围成的图形面积为
C.的最大值为 D.的最小值为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知,分别为椭圆的左、右焦点,A为上顶点,则的面积为.
13.如图所示,由圆锥曲线的光学性质知道:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射(即经椭圆在该点处的切线反射)后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的方程为,其左、右焦点分别是,,直线l与椭圆C相切于点,过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M,则.
??
14.若点在椭圆上,点在直线上,则的最小值是.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.在?ABC中,,,边的中点在轴上,边的中点在轴上.
(1)求边上的高所在直线方程;
(2)设过点的直线为,且点与点到直线距离相等,求直线的方程.
16.如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,为棱的中点.
求直线与所成角的余弦值;
求直线与平面所成角的正弦值;
17.已知圆.
(1)若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点,求.
(2)在(1)的前提下,若点Q是圆上的点,求面积的最大值.
18.如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0过点P3,1,焦距为42;斜率为?13的直线l
(1)求椭圆C的方程;(2)若MN=10,求
(3)记直线PM的斜率为k1,直线PN的斜率为k2,证明:
19.《文心雕龙》有语:“造化赋形,支体必双,神理为用,事不孤立”,意指自然界的事物都是成双成对的.已知动点P与定点的距离和它到定直线l:的距离的比是常数().设点P的轨迹为曲线H,若某条直线上存在这样的点P,则称该直线为“齐备直线”.
(1)若,求曲线H的方程;
(2)若“齐备直线”:与曲线H相交于A,B两点,点M为曲线H上不同于A,B的一点,且直线MA,MB的斜率分别为,,试判断是否存在λ,使得取得最小值?说明理由;
(3)若,与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S,T两点,且N为线段ST的中点,求证:直线与曲线H有且仅有一个公共点.
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