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§6.5数列求和
课标要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
知识梳理
数列求和的几种常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式:
Sn=____________=____________.
②等比数列的前n项和公式:
Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1,q=1,,=,q≠1.))
(2)分组求和法与并项求和法
①分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减.
②并项求和法
一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
(4)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
常见的裂项技巧
①eq\f(1,n?n+1?)=________________.
②eq\f(1,n?n+2?)=________________.
③eq\f(1,?2n-1??2n+1?)=___________________________.
④eq\f(1,\r(n)+\r(n+1))=________________.
⑤eq\f(1,n?n+1??n+2?)=eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n?n+1?)-\f(1,?n+1??n+2?))).
常用结论
常用求和公式
(1)1+2+3+4+…+n=eq\f(n?n+1?,2).
(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.
(3)12+22+32+…+n2=eq\f(n?n+1??2n+1?,6).
(4)13+23+33+…+n3=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n?n+1?,2)))2.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列,且公比q不等于1,则其前n项和Sn=eq\f(a1-an+1,1-q).()
(2)求数列{2n+2n}的前n项和可用分组求和法.()
(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时,只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得.()
(4)当n≥2时,eq\f(1,n2-1)=eq\f(1,n-1)-eq\f(1,n+1).()
2.数列{an}的前n项和为Sn.若an=eq\f(1,n?n+1?),则S5等于()
A.1B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,30)
3.(选择性必修第二册P40T3改编)Sn=eq\f(1,2)+eq\f(1,2)+eq\f(3,8)+…+eq\f(n,2n)等于()
A.eq\f(2n-n-1,2n) B.eq\f(2n+1-n-2,2n)
C.eq\f(2n-n+1,2n) D.eq\f(2n+1-n+2,2n)
4.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17=________.
题型一分组求和与并项求和
例1(2023·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=2Sn+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
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