专题22 平行线中的动态问题压轴题（解析版）.pdfVIP

专题22平行线中的动态问题压轴题（解析版）

类型一动点问题

1．（2022春•安乡县期末）问题情境：

（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝128°，∠PCD＝132°，求∠APC的度数．小颖同学的解题思路是：

如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答；

问题迁移：

（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α．∠BCP

＝∠β，试判断∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜

想∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系，并画出相应的图形说明理由．

思路引领：（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝100°．

（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠

CPE，即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性

质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．

解：（1）过P作PE∥AB，如图2：

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣128°＝52°，∠CPE＝180°﹣∠PCD＝180°﹣132°＝48°，

∴∠APC＝52°+48°＝100°；

（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：

如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；

（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；

理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；

当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．

理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．

综上所述，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．

总结提升：本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅

助线构造内错角以及同旁内角．

2．（2022春•房山区期末）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像，称为“形BAMCD”．

（1）如图1，形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝60°；

（2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM

与∠MCD的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠

BAM与∠MCD所有可能的数量关系．

思路引领：（1）过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解；

（2）过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°，

结合（1）的结论可求解；

（3）可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形

外角的性质可分别计算求解．

解：（1）过M作MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥MN∥CD，

∴∠AMN＝∠A，∠MCD＝∠C，

∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°，

故答案为：60°；

（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°．

理由：过A点作AP∥CD交BD于点