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三角函数的值域与最值

1.1基础知识

21+cos2α21-cos2α

(1)降幂公式：cosα=,sinα=

22

(2)2sinαcosα=sin2α

(3)两角和差的正余弦公式

sinα+β=sinαcosβ+sinβcosα

sinα-β=sinαcosβ-sinβcosα

cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ

cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ

22b

(4)合角公式（辅助角公式）：asinα+bcosα=a+bsinα+φ，其中tanφ=

a

1.2典型例题

(1)形如y=Asinωx+φ的值域：使用换元法，设t=ωx+φ，根据x的范围确定t的范围，然后再利



用三角函数图像或单位圆求出ωx+φ的三角函数值，进而得到值域

πππ

例1.求fx=2sin2x-,x∈-,的值域

444

ππππ3ππ

解：设t=2x-当x∈-,时，t=2x-∈-,

444444

2

∴sint∈-1,

2

∴fx∈-2,2



(2)形如y=fsinx的形式，即y=ft与t=sinx的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角



函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即

可

2π2π

例2.求fx=sinx-cosx+2,x∈-,的值域

63

22

解：fx=sinx-1-sinx+2=sinx+sinx+1



π2π1

设t=sinx∵x∈-,∴t∈-,1

632

2123

y=t+t+1=t+2+4

33

∴y∈,3，即fx的值域为,3

44

(3)含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行

处理(详见例7