2024-2025学年北京市东城区第二中学高三上学期12月月考数学试题（含答案）.docx

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2024-2025学年北京市东城区第二中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题：本大题共10小题，共50分。

1.设集合A=xx24，B=x

A.x?2x≤2 B.x0≤x2?

2.已知z=1+i2+i(i为虚数单位)，则z的虚部为

A.?15 B.?15i

3.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点A1,0，B?1,2且圆心在直线2x?y+2=0上，若直线x=ay+1被圆C截得弦长为23，则正实数a

A.1 B.2 C.3

4.已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点(0,22)的距离与点P到

A.3 B.2 C.3 D.

5.在?ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sin

A.π6 B.π3 C.2π3

6.若(3?x)(1+2x)10=a0+a1

A.39 B.39?1 C.0

7.设a，b均为单位向量，则“a⊥b”是“|a?2b|=|2a

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要

8.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ?ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈).则楔体PQ?ABCD的体积为(体积单位：立方丈)(????)

A.10 B.8 C.6 D.5

9.已知非零向量a，b，e在同一平面，其中e是单位向量．a与e的夹角为π3，b?2e=1，则a

A.2 B.1 C.3 D.

10.已知函数fx=x2+m与函数gx=?ln

A.54+ln2,2 B.2?ln2,

二、填空题：本大题共5小题，共25分。

11.已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±

12.在等差数列an中，公差d不为0，a1=9，且a1,a4,a5成等比数列，则d=??????????；当n=

13.已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF

14.设函数fx

①当a=0时，f(f(10))=??????????；

②若f(x)恰有2个零点，则a的取值范围是??????????．

15.对于数列an，若存在M0，使得对任意n∈N?，有a2?a

①若等差数列an为“有界变差数列”，则an的公差d等于

②若各项均为正数的等比数列an为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是0,1

③若数列an是“有界变差数列”，则存在T0，使得对任意n∈N?

④若数列an是“有界变差数列”，则数列a

其中所有正确结论的序号是??????????．

四、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.设函数fx=3sinωxcosωx+Acos2ωxA0,ω0

(1)求函数fx

(2)求fx在区间0,

条件①：fx=f?x；条件②：f0=1；条件③：fx的最大值为32

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．

17.为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班～8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下(x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数)：

??

(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；

(2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“ξk=1”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“ξk=0”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀k=1,2,???,8.直接写出方差Dξ1，Dξ2，

18.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，F为BD中点，点E在棱PA上，PC//平面EDF，PA=PD=AD=2．

(1)求证：E为PA中点；

(2)求二面角F?ED?P的余弦值；

(3)设G为棱PC上任意一点，求证：GF与平面EDF不垂直．

19.已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(?