24.2 点和圆、直线和圆的位置关系2（知识梳理+典型例题）.docx

24.2点和圆、直线和圆的位置关系（2）?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓

24.2点和圆、直线和圆的位置关系（2）

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TOC\o1-3\h\z\u【题型1】直线与圆的位置关系 3

【题型2】切线的性质 6

【题型3】切线的判定 11

【题型4】切线长定理 17

【题型5】三角形的内切圆与内心 21

1．直线与圆的位置关系

直线和圆的三种位置关系：

①相离：一条直线和圆没有公共点．

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．

2．切线的性质和判定

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（3）切线长定理

切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

3．三角形的内切圆与内心

（1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

（2）性质：

①三角形的内心是三条角平分线的交点．

②三角形的内心到三角形三边的距离相等．

1．切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．

2．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．

3．直角三角形内切圆半径的求解方法：

直角三角形直角边为a，b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r．a-r+b-r=c，得．

【题型1】直线与圆的位置关系

例1

例1

（2023秋?禹城市期末）已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

【答案】

【分析】当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答．

【解答】解：，

，，

故的半径为6，

，

，

即直线与圆相交，

故选：．

?点拨?

判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

①直线l和⊙O相交?d＜r；

②直线l和⊙O相切?d＝r；

③直线l和⊙O相离?d＞r．

【变式1】（2023秋?兴隆县期末）如图，在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是

A．点在内 B．直线与相离

C．点在上 D．直线与相切

【变式2】（2023秋?梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆

A．与轴相离，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交

C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离

【变式3】（2024?西宁二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为

A．0 B．1或0 C．0或2 D．1或2

1．【答案】

【分析】过点作于，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项和选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对选项和选项进行判断．

【解答】解：过点作于，如图，

，

，

在中，，

，

点在外，所以选项不符合题意；

，

点在外，所以选项不符合题意；

，，

直线与相切，所以选项符合题意，选项不符合题意．

故选：．

2．【答案】

【分析】由已知点可求该点到轴，轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设为直线与圆的距离，为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．

【解答】解：点到轴为4，大于半径3，

点到轴的距离为3，等于半径3，

故该圆与轴相离，与轴相切，

故选：．

3．【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线和相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．

【解答】解：的半径等于，圆心到直线的