《直线与平面垂直的性质定理》知识探究.docxVIP

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《直线与平面垂直》知识探究

探究点1直线与平面垂直

1.直线与平面垂直:如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直,记作,直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.

【要点辨析】

(1)定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词,但与“无数条直线”不同.定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直.

(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.

(3)运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时,要紧扣定义“一条直线与一个平面内的所有直线都垂直”,若在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直,则这条直线与这个平面不垂直.

(4)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难,但已知直线与平面垂直时,却可以得到直线与平面内的任意一条直线都垂直,给判定两条直线垂直带来方便.

2.直线到平面的距离:一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.

3.平面到平面的距离:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

4.空间中点面距离、线面距离、面面距离的关系:

学科素养:正确理解线面垂直的定义,并能运用定义解决空间中直线、平面垂直问题,提升学生的直观想象、逻辑推理核心素养.

典例1-1[概括理解能力](河北衡水中学月考)直线平面,直线,则l与m不可能()

A.平行

B.相交

C.异面

D.垂直

解析:本题考查对线面垂直定义的理解,如果一条直线垂直于一个平面,这条直线与平面内的直线有可能异面垂直、相交垂直.

因为直线平面,所以l垂直于内的所有直线,又直线,所以,所以直线l与m不可能平行.

答案:A

典例[推测解释能力](湖北团风中学单元检测)下列说法正确的是()

A.若l上有无数个点不在平面内,则

B.若直线l与平面垂直,则l与内的任意一条直线垂直

C.若E,F分别为中AB,BC边上的中点,则EF与经过AC边的所有平面平行

D.两条垂直的直线中有一条和一个平面平行,则另一条和这个平面垂直

解析:本题主要考查线面垂直的定义,熟知线面垂直的定义并能正确地推测判断是解题的关键.选项中,若直线与平面相交,则除交点外的无数个点都不在平面内,故不正确;选项中,经过AC边的平面有平面ABC,但EF在平面ABC内,故C不正确;D选项中,另一条直线和这个平面的位置不能确定,还可能是相交(不垂直)、平行、包含于,故D不正确.由线面垂直的定义知B正确.

答案:B

探究点2直线与平面所成的角

1.直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

【要点辨析】

(1)点P是斜线上不同于斜足A的任意一点,点P具有任意性.

(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段.

(3)求一条直线与平面所成的角,可先将直线在平面内的射影作出,从而得到直线与平面所成的角,再求解.

2.直线与平面所成角的拓展

(1)如果一个角所在平面外一点到角两边的距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上.

(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线与这个角的两边的夹角相等,那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.

(3)对于三棱锥A-BCD(如图),有下列结论:

①若AB=AC=AD,则点A在平面BCD内的射影为△BCD的外心.

②若点A到BC,CD,BD边的距离相等,且点A的射影在△BCD的内部,则点A在平面BCD内的射影为△BCD的内心.

③若AB⊥CD,AC⊥BD,则点A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心.

学科素养:理解直线与平面所成的角的定义,并能用定义求解线面角,提升了学生的直观想象核心素养.

典例2［分析计算能力]在正方体中,

(1)直线与平面ABCD所成的角的大小为_______;

(2)直线与平面所成的角的大小为_______;

(3)直线与平面所成的角的大小为_______.

思路:本题通过直线与平面所成的角的定义求线面角,经过分析求解此题的关键之处在于找到线面角,如果不能直接找到就需要作辅助线,需要作出直线在平面内的射影,再根据直线与它在平面内的射影所成的角计算.

解析:(1)由线面角的定义知,为与平面ABCD所成的角,易得.

(2)如图,连接,设,连接BO,则易证平面在平面内的射影为与平面所成的角为.

,.

(3)在正方体中,易证得,,∴平面,即与平面所成的角