专题21二次函数与特殊三角形存在型问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案（解析版）【全国通用】.pdfVIP

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用）

专题21二次函数与特殊三角形存在型问题

【方法指导】

解决二次函数中动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行

准确的分类.

对于直角三角形的动点和存在性问题，通常采用“两线一圆法”，常用的解决方案有：

（1）与函数结合，常利用互相垂直的两直线的倾斜率的乘积为﹣1，求得一次函数的解析式再与二次函数

联立方程组；

（2）利用两点间的坐标公式以及勾股定理，得到一个一元二次或一元一次方程；

（3）利用30°所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（4）将点的坐标转化为线段的长，利用全等或相似的知识来求解.

对于等腰三角形的动点和存在性问题，通常采用“两圆一线法”常用的步骤有：

先确定顶点，讨论底边和腰；寻找点的存在性，顶点在底边的线段垂直平分线上，底边两点的寻找可以利

用画圆；求点的坐标，可以利用两点间的坐标公式以及勾股定理或全等三角形知识解决.

【题型剖析】

【类型1】二次函数与等腰三角形问题

2

【例1】（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，

连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的

长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角

形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

214222

=―2+=―2+

（2）PN＝PQsin45°（mm）（m﹣2），即可求解；

23363

（3）分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．

1

【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a―3b+4=0，解得a=―3，

16+4+4=01

=

3

11

故抛物线的表达式为：y=―x2+x+4；

33

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；

11

设点M（m，0），则点P（m，―m2+m+4），点Q（m，﹣m+4），

33

1114

∴PQ=―m2+m+4+m﹣4=―m2+m，