专题21二次函数与特殊三角形存在型问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案（原卷版）【江苏专用】.pdfVIP

备战2021年中考数学经典题型讲练案（江苏专用）

专题21二次函数与特殊三角形存在型问题

【方法指导】

解决二次函数中动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行

准确的分类.

对于直角三角形的动点和存在性问题，通常采用“两线一圆法”，常用的解决方案有：

（1）与函数结合，常利用互相垂直的两直线的倾斜率的乘积为﹣1，求得一次函数的解析式再与二次函数

联立方程组；

（2）利用两点间的坐标公式以及勾股定理，得到一个一元二次或一元一次方程；

（3）利用30°所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（4）将点的坐标转化为线段的长，利用全等或相似的知识来求解.

对于等腰三角形的动点和存在性问题，通常采用“两圆一线法”常用的步骤有：

先确定顶点，讨论底边和腰；寻找点的存在性，顶点在底边的线段垂直平分线上，底边两点的寻找可以利

用画圆；求点的坐标，可以利用两点间的坐标公式以及勾股定理或全等三角形知识解决.

【题型剖析】

【类型1】二次函数与等腰三角形问题

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【例1】（2020•江都区二模）如图，抛物线y＝ax+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过原点O和，

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两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．

（1）a＝，b＝，c＝；

（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设⊙P与x轴相交于M、N两点，M在N的左边．当△AMN为等腰三角形时，直接写出圆心P的

横坐标．

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【变式训练】（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交

于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．

（1）求A、B两点的横坐标；

（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；

（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k

的值；若不存在，说明理由．

【类型2】二次函数与直角三角形问题

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【例2】（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、

B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y

轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．

（1）点E的坐标为：；

（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；

（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．

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【变式训练】（2020•张家港市模拟）如图，二次函数y＝x+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，B点坐标为

（4，0），与y轴交于点C（0，4）点D为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式及A点坐标；

（2）若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；

（3）若△BCD是锐角三角形，请写出点D的横坐标m的取值范围．

【类型3】二次函数与等腰直角三角形问题