垂直于弦的直径（导学案）-九年级数学上册同步备课系列（解析版）.pdfVIP

24.1.2垂直于弦的直径

学习目标：

1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；

2)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。

学习重点：理解垂径定理的推导。

学习难点：利用垂径定理解决实际问题。

学习过程

1）知识点回顾

【问题一】轴对称图形的概念？

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

【问题二】常见的轴对称图形有什么？

2）课堂探究

一、探索圆的对称性

【问题三】将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？

由此你能得到圆的什么特性？

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

【证明】如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作

CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA,OB.

证明：在△OAB中，∵OAOB,∴△OAB是等腰三角形

而OE⊥AB∴AEEB

即CD是AB的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的

对称点B，因此⊙O关于直线CD对称。

【问题四】根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？并尝试证明？

CEDE、=、=

【证明】已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E。求证：CEDE,=、

=

证明：连接OC、OD,在△OCD中，

∵OCOD，且OE⊥CD,

∴CEDE，∠COB∠BOD,

∴∠AOC∠AOD,∴=、=

二、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

【易错点】平分弦的直径垂直于这条弦吗？不一定

【概念理解】判断下列图形，能否使用垂径定理？仅3、6可以

垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

三、垂径定理的解题思路

在直角三角形中，由勾股定理得：弦心距+半弦半径

【练一练】

1．下列说法正确的是（）

①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

②平分弦的直径平分弦所对的弧

③垂直于弦的直线必过圆心

④垂直于弦的直径平分弦所对的弧

A．②③B．①③C．②④D．①④

【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；

③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．

OCABOA10AB16

2．如图，已知AB为⊙O的弦，，垂足为C，若，，则弦心距OC

的长为（）．

A．12B．10C．6D．8

OCABOA10AB16

【详解】解：∵AB为⊙O的弦，，，，

16

ACBC8，

2

22

OCOAAC10064366．

故选：C．

3．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（）

A．3B．23C．6D．43

【详