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新余市第四中学2024-2025学年高三上学期12月段考数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．过两点的直线的倾斜角为（????）

A．0° B．90° C．180° D．不存在

2．平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（????）

A．线段 B．圆 C．椭圆 D．无轨迹

3．已知椭圆的一个焦点为，则椭圆C的离心率为（????）

A． B． C． D．

4．直线和直线在同一坐标系中可能是（????）

A．B． C． D．

5．已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（????）

A． B． C．或1 D．

6.已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.01，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（）元.

A.-2200B.-1100C.2200D.7000

7.设，，，则的大小关系为：（）.

A.B.C.D.

8.现有一三棱锥，，为其外接球（四个顶点均在球的球面上）球心，，，平面恰好经过点.设平面截球的截面为，截面中心为，若，，为上一点，则取最大值时，（）.

A.B.C. D.

二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．）

9．已知曲线：，则下列结论正确的是（????）

A．若，，则是两条直线B．若，则是圆，其半径为

C．若，则是椭圆D．若，则是椭圆，其焦点在轴上

10.已知首项均为的等差数列和等比数列，的公差恰好为公比的倒数，若恒成立，则的取值可以是：（）.

A.B.C. D.

11.在长、宽、高分别为1、1、2的长方体中任取3个顶点构成平面，则该长方体在上的投影面积可能是：（）.

B.C. D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）

12．经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的方程为．

13.已知抛物线的准线为，焦点为，动圆与相切，若经过总存在直线与相切，则的取值范围是：.

14．设分别是椭圆的左?右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为。

四、解答题（本题共5小题，共77分）

15．（13分）已知是椭圆的两个焦点，，为上一点.

(1)求椭圆的标准方程；(2)若为上一点，且，求的面积.

16．(15分)在平行四边形中，，，边，所在直线的方程分别为和．

(1)求边所在直线的方程和点到直线的距离；

(2)求过点且在轴和轴截距相等的直线方程．

17.（15分）已知数列满足,.的前项和为，的前项积为.

(1)求证：数列为等比数列并求出其通项.

(2)已知，

求证：.

18.（17分）椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，分别为其左、右焦点，过作直线与切于，则直线与的夹角大小相等.

(1)求证：的方程为：；

(2)如图2：在（1）的基础上，双曲线的离心率为且与有相同焦点，不与、的交点重合，与交于两点，过分别作的切线交于.求证：（ⅰ）（ⅱ）

19.（17分）已知某类数集中有个元素，这些元素的和为且它们的某种排列可以构成等差数列，我们就称这样的集合为“好集”.对于一系列互不相同的正整数，若好集满足：，，中的元素个数至多为1，且存在某些使它们的并集（）中元素的某种排列也为等差数列，我们就称可以构成“优集合”.特别的，规定下标最小的好集.

证明：好集可以构成优集合.

若好集可以构成优集合，证明：不全为偶数.

若好集可以构成优集合，试判断是否能为以1为首项的等比数列？若能，请求出所有的通项；若不能，请说明理由.

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

A

B

C

B

A

D

题号

9