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小学奥数之最值问题

1、最值问题

【最小值问题】

例1外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、

丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值

勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知

甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______

位民警。

讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位

民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，

2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相

等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。

由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警

数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。

例2在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92

所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面

最省时？

（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）

讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同

时到达，即各自行的路程相等。

我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，

便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。

所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出

AO=OC=OB。

故，O点即为三只蚂蚁会面之处。

【最大值问题】

例1有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几

个图形面积最大？

（全国第二届“华杯赛”初赛试题）

讲析：三个图的面积分别是：

三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一

定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。

由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。

故图（3）的面积最大。

例2某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖

出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天

能赚得更多利润，售价应定为每个______元。

（台北市数学竞赛试题）

讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10

个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。

现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1

份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。

所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方

形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，

此时有最大的利润。

因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。

2、最值规律

【积最大的规律】

（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积

最大。用字母表示，就是

如果a+a+…+a=b（b为一常数），

12n

那么，当a=a=…=a时，a×a×…×a有最大值。

12n12n

例如，a+a=10，

12

…………→…………；

1+9=10→1×9=9；

2+8=10→2×8=16；

3+7=10→3×7=21；

4+6=10→4×6=24；

4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；

5+5=10→5×5=25；

5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；

…………→…………；

9+1=10→9×1=9；

…………→…………

由上可见，当a、a两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，

12

即a=a时，它们的积就会变