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2024年湖北云学名校联盟高三年级12月联考
数学试卷评分细则
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.A:由已知,,则,答案为:
2.C:,,则=
3.B:
4.D:直线恒过定点,当直线与垂直时,弦长最短为4
5.B:
6.D:
所以当时,有,此时:,
当时,有,此时:,
当时,有,此时:,
作出函数的部分图象,如图所示:
可得
7.B:,得:;
由,则;令,,
,所以
则;
又,所以,综上:.
8.D:如图,过的平面如果平分长方体的体积,则过长方体的中心,将面与长方体六个平面的交线画出,则二面角即为所求,,设二面角为,则,
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选或不选得0分.
9.ACD:对于A:由题意可得,,
则有,又,解得,A正确;
对于B:由,得,B错误;
对于C:由,得,,得,C正确;
对于D:概率为,D正确。
10.ACD:由已知抛物线,设直线
联立方程组,整理得,则,且,
由,所以A正确;
由,所以B错误;
当时,到准线的距离为,则两点到准线的距离之和为3,由抛物线的定义得:
即,又,,可得,则C正确;
时,,,直线与抛物线相切时切点,此时,所以有三个点满足要求,则D正确
11.BC:A:因为可化为,令,则,因为,所以,所以在上单调递减,因为,所以,所以,所以,即不等式的解集为.A错误
B:设,则,
,,又,所以,在定义域上单调递增,对于不等式转化为,又,,
,而在定义域上单调递增,,B正确
C:令,则,
因为当时有成立,所以当时,恒成立,所以在上单调递减,所以当时,,所以,又,所以,
时,,所以,又,所以,在是连续的函数,所以,时,,又由为奇函数,时,,
所以或,解得或,则的取值范围,C正确
D:构造函数,,由化为:,
,?函数为上的偶函数,则当时,,在上单调递减.若,则,即,即,,D错误
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.7种
13.
14.如图,设定,则,,
,在中,,即,解得,另,则,由,得,带入得
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解题步骤.
15.解(1)由题:平面,平面
平面2分
平面,平面
平面2分
又因为
故平面平面
又平面,所以:6分
(2)由题:,,
所以:,又,
以点为原点,以,,所在直线分别为轴,轴,轴
建立如图所示得直角坐标系8分
则,,,
,平面得法向量为9分
,
设平面的法向量为
则,取,则,所以:.11分
设平面与平面所成的锐二面角为,则
平面与平面所成的夹角的余弦值为13分
16.解(1)=,
则2分
可得,即在上单调递减,在上单调递增6分
(2)=,则原式等价于
,令证明10分
①令,,,在上单调递减,,12分
②令,,,在上单调递增,
,.
综上:当,,此题得证.15分
17.解:
4分
,5分
.6分
(2)解:由于
.8分
由正弦定理:
10分
令:,则
13分
,即
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