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约数与倍数

知识点拨：

a、b是两个任意整数，其中b≠0，如果存在整数q，使得a＝bq成立（或者说，如果a

除以b能得到整数商q），我们就说a能被b整除，或者b整除a，记作b∣a．当a能被b

整除时，我们就说a是b的倍数，或者说b是a的约数（也叫因数）．如果满足条件a＝bq

的整数q不存在，我们就说b不能整除a，或者a不能被b整除，记作ba．

整除的概念是在整数范围内讨论的，即只有当被除数、除数和商都是整数（除数不能是

零）时，才能叫做整除．因为自然数a的约数不会大于a，a的约数的个数也就不会多于a，

所以自然数a的约数的个数是有限的．因为自然数集是无限的，所以一个自然数的倍数的个

数是无限的．

零可以被任何自然数整除，所以零是任何自然数的倍数，任何自然数都是零的约数．

任何整数都能被1整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的约数．

约数和倍数表达的是两个数之间的关系，所以它们只具有相对的意义．15＝3×5，只能

说“15是3的倍数”，“3是15的约数“，不能说“15是倍数”或“3是约数”．

将自然数N分解质因数后，

N=（a、a、a、a、…a为不相同的质因数；r、

1234n1

r、r、r、…r为a…a的指数）；

234m1n

N所有约数个数：

=（r＋1）×（r＋1）×（r＋1）×（r＋1）×…×（r＋1）

1234m

N所有约数个数的和：

约数与倍数中的一个结论：完全平方数的约数个数是奇数。

【约数问题】

例1用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五

届小学数学竞赛试题）

【分析】不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。

而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种

方法。一般来说，约数都是成对地出现。

1155的约数共有16个。

16÷2=8（对）。

所以，有8种不同的拼法。

LX1、用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.

【分析】4。

因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21

与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.

例2说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？

（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）

【分析】将360分解质因数，得

32

360=2×2×2×3×3×5=2×3×5。

所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）

这24个约数的和是：

012301201

（2+2+2+2）×（3+3+3）×（5+5）=1170

LX2、28的所有约数之和是_____.

【分析】56

28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为

1+2+4+7+14+28=56.

例3一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，

这些两位的约数中，最大的是几？

（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）

【分析】这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。

把两位数从99、98、„„开始，逐一进行分解：

99=3×3×11；98=2×7×7；

97是质数；96=2×2×2×2×2×3。

发现，96是上面数的约数。

所以，两位数的约数中，最大的是96。

LX3、一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是24.这

个两位数是___