数学自我小测：第三讲二平面与圆柱面的截线.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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自我小测

1．已知平面β与一圆柱斜截口（椭圆)的离心率为eq\f(\r（3）,2),则平面β与圆柱母线的夹角是()

A．30°B．60°

C．45°D．90°

2．如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么,这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的(）

A．9倍B．4倍

C．12倍D．18倍

3．在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切，若平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥面的截线是（)

A．圆B．椭圆

C．双曲线D．抛物线

4．已知圆柱的底面半径为r，平面α与圆柱母线的夹角为60°，则它们截口椭圆的焦距是(）

A．2eq\r（3）rB．4eq\r（3)rC．eq\r(3）rD．3r

5．如图所示，已知A为左顶点，F是左焦点，l交OA的延长线于点B，P，Q在椭圆上,有PD⊥l于D,QF⊥AO，则椭圆的离心率是①eq\f（PF，PD)；②eq\f(QF，BF）；③eq\f(AO,BO）；④eq\f(AF,AB）；⑤eq\f(FO,AO).

其中正确的是（）

A．①②B．①③④

C．②③⑤D．①②③④⑤

6．已知平面π截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成的角为45°，此曲线是__________，它的离心率为__________．

7．已知椭圆两准线间的距离为8,离心率为eq\f（1，2），则Dandelin球的半径是__________．

8．已知圆柱底面半径为b，平面π与圆柱母线的夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是eq\r（3)b,则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是__________．

9．如图所示，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.

参考答案

1．解析:设平面β与圆柱母线的夹角为φ，则cosφ＝eq\f(\r(3),2),

故φ＝30°.

答案:A

2．解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b,2c，

由已知，得eq\f(2a,3）＝2c,即a＝3c，

故两条准线间的距离为eq\f(2a2，c)＝eq\f（18c2,c）＝18c.

答案:A

3．B

4．解析:如图，过点G2作G2H⊥AD，H为垂足，则G2H＝2r.

在Rt△G1G2H中，

G1G2＝eq\f(G2H,cos60°）＝2r×2＝4r，

∴长轴2a＝G1G2＝4r，短轴2b＝2r.

∴焦距2c＝2eq\r(a2－b2)＝2×eq\r（3)r＝2eq\r（3）r.

答案:A

5．解析：①eq\f(PF,PD）符合离心率定义；②过点Q作QC⊥l于C,

∵QC＝FB,∴eq\f(QF,BF)＝eq\f（QF,QC）符合离心率定义；

③∵AO＝a,BO＝eq\f（a2,c),

∴eq\f(AO，BO）＝eq\f（a，\f（a2,c))＝eq\f(c,a),故eq\f（AO,BO)也是离心率;

④∵AF＝a－c，AB＝eq\f（a2，c)－a，

∴eq\f(AF，AB）＝eq\f(a－c，\f(a2，c)－a)＝eq\f(c，a），∴eq\f（AF,AB）是离心率；

⑤∵FO＝c,AO＝a,

∴eq\f(FO，AO）＝eq\f(c，a)是离心率．

答案：D

6．答案：椭圆eq\f(\r（2）,2）

7．解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(a2,c）＝4，，\f（c,a）＝\f(1，2），））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2，，c＝1，)）

∴b＝eq\r(a2－c2）＝eq\r(3)。

∴Dandelin球的半径为eq\r(3).

答案:eq\r(3）

8．解析：由题意知，椭圆短轴为2b，长轴长2a＝eq\f(2b,sin30°)＝4b，

∴c＝eq\r(4b2－b2)＝eq\r（3）b。

∴e＝eq\f(\r(3）b,2b）＝eq\f(\r(3)，2）或e＝cos30°＝eq\f(\r（3），2）。

设P到F1的距离为d，

则eq\f（d,\r(3）b）＝eq\f(\r(3），2），∴d＝eq\f(3,2）b。

又PF1＋PF2＝2a＝4b，

∴PF2＝4b－PF1＝4b－eq\f(3，2)b＝eq\f(5，2）b.

答案：eq\f(5,2)b

9．解:设椭圆长轴为2a，短轴为2