21.3 实际问题与一元二次方程（知识梳理+典型例题）.docx

21.3实际问题与一元二次方程

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TOC\o1-3\h\z\u【题型1】数字问题 3

【题型2】变化率问题 6

【题型3】商品销售问题 8

【题型4】存款利息问题 12

【题型5】面积问题 15

【题型6】单循环、双循环问题 19

知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审：审清题意，分清已知量和未知量，明确各量之间的关系．

（2）设：设元，也就是设未知数，可直接设未知数或间接设未知数．

（3）找：根据题目中的关键语句，找出等量关系．

（4）列：根据等量关系列出一元二次方程．

（5）解：解一元二次方程，求出未知数的值．

（6）验：检验所求解的合理性．

（7）答：写出答案，应遵循“问什么答什么的原则”．

注意：不要忘记检验方程的解是否符合实际意义．

在实际问题中，由一元二次方程解得的根要符合实际情况，如人数为自然数，几何图形中的长度、面积等为正数，银行存款利率不能为负．

知识点2：常见题型

1．数字问题

一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数表示为10a+b；一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数表示为100a+10b+c．

2．平均变化率问题

设基数为a，平均增长（或减少）率为x，则第一次增长（或减少）后的值为a（1±x），第二次增长（或减少）后的值为a（1±x）2，以此类推，第n次增长（或减少）后的值为a（1±x）n．

3．利润问题

利润=售价一进价；

利润率==；

售价=进价×（1+利润率）；

打折后的价格=售价×打折数×．

总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量．

列一元二次方程解决实际问题时应注意：

（1）注意各类实际问题中常见的等量关系．

（2）注意文字语言与代数式之间的互化，能把用文字语言表述的关系用代数式表示出来．

（3）注意单位问题，一是在设未知数时必须写清单位；二是列方程时，要注意方程两边的单位必须一致，答时必须写上单位．

（4）一般情况下一元二次方程有两个解，所以要注意检验方程的解是否符合题意及使实际问题有意义．

【题型1】数字问题

例1

例1

（2023?翼城县一模）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

东吴都督而立年，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．

【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为．由题意得；

，

解得：，

当时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意．

答：周瑜去世时的年龄为36岁．

?点拨?

数字在哪位上，该数位上的数字就乘哪个进率．

【变式1】（2023秋?西华县月考）有一个两位数，两个数位上数字的和是6，这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍，则这个两位数是．

【变式2】（2023秋?罗山县校级月考）一个两位数，十位数字比个位数字大3．若这两个数字之积等于这个两位数的，则这个两位数是．

【变式3】（2023秋?临汾月考）一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．

1．【答案】24或15．

【分析】根据“这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍”设未知数列方程求解

【解答】解：设这个两位数的个位为，则十位数为，

根据题意可得，，

整理得，

解得或5，

当时，，故这个两位数为；

当时，，故这个两位数为．

故答案为：24或15．

2．【答案】63．

【分析】设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，根据这两个数字之积等于这个两位数的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合为非负整数，即可得出的值，再将其代入中即可求出结论．

【解答】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

又为非负整数，

，

．

故答案为：63．

3．【答案】26．

【分析】先设原来的两位数的十位数字为，再根据题意列出等式，最后进行计算即可．

【解答】解：设原来的两位数的十位数字为，

，

整理得：

解得：，（不符合题意，舍去）

，故原来的两位数为26．

答：原来的两位数为26．

【题型2】变化率问题

例2

例2

（2024春?岳麓区