专题04 基本不等式及其应用 2023年新高考数学一轮复习方法技巧讲义（原卷版）.docxVIP

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专题04基本不等式及其应用

【考点预测】

1.基本不等式

如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；

基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

【方法技巧与总结】

1.几个重要的不等式

（1）

（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).

特例：（同号）.

（3）其他变形：

①(沟通两和与两平方和的不等关系式)

②(沟通两积与两平方和的不等关系式)

③(沟通两积与两和的不等关系式)

④重要不等式串：即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

2.均值定理

已知.

（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.

3.常见求最值模型

模型一：，当且仅当时等号成立；

模型二：，当且仅当时等号成立；

模型三：，当且仅当时等号成立；

模型四：，当且仅当时等号成

立.

【题型归纳目录】

题型一：基本不等式及其应用

题型二：直接法求最值

题型三：常规凑配法求最值

题型四：消参法求最值

题型五：双换元求最值

题型六：“1”的代换求最值

题型七：齐次化求最值

题型八：利用基本不等式证明不等式

题型九：利用基本不等式解决实际问题

【典例例题】

题型一：基本不等式及其应用

例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（???????）

A． B．

C． D．

例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（???????）

A． B．

C． D．

例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（???????）

A． B．

C． D．

例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（???????）

A． B．

C． D．

（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（???????）

A． B．

C． D．

（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设，，下列结论中正确的是（???????）

A． B．

C． D．

【方法技巧与总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.

题型二：直接法求最值

例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（???????）

A．2 B．1 C． D．

例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（???????）

A．18 B．27 C．54 D．90

例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（???????）

A． B．4 C．8 D．

例10．（2022·湖北十堰·三模）函数的最小值为（???????）

A．4 B． C．3 D．

（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（???????）

A．的最小值是1 B．的最大值是1

C．的最小值是 D．的最大值是

例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若，且，则的最大值是_______________.

例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数、满足，则的最小值是___________.

【方法技巧与总结】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件.

题型三：常规凑配法求最值

例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若，则有（???????）

A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值

例15．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值是（???????）

A． B．

C． D．

例16．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（???????）

A．3 B． C． D．

例17．（2022·上海·高三专题练