专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（能力提升）（原卷版）.pdfVIP

专题12两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）

（能力提升）

1．【问题提出】

（1）如图①，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一

次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点

C、D间距离为900米，请计算该牧马人的最短路径长；

【问题探究】

（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，

F，△ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求

△CDM周长的最小值；

【问题解决】

（3）如图③所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，∠C＝∠D＝90°，

AD＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质

检口N，点D为货物包装口．为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高

效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最

短（即MN+ND最短）．请根据要求计算MN+ND的最小值为多少？

2．如图①，在菱形ABCD中，BD为对角线，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，

其中2BE＝BC，DF＝．

（1）求EF的长；

（2）如图②，点G为CD上一点，过点G作GH⊥AD于点H，交BD于点M，在AE

上取点N，使AN＝2HM，连接BN，CM，求证：BN＝CM；

（3）如图③，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△ABD，连接AC，AD，BC，求

AC+AD的最小值．

3．（1）如图①，在等边△ABC中，BC＝4，点P是BC上一动点，点P关于直线AB，AC

的对称点分别为点M，N，连接MN．

①当点P与点B重合时，线段MN的长是，

当AP的长最小时，线段MN的长是；

②如图②，PM，PN分别交AB，AC于点D，E．当PB＝1时，求线段MN的长；

（2）如图③，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，点P，Q，R分别为边BC，

AB，AC上（均不与端点重合）的动点，当△PQR的周长最小时，求∠PQR+∠PRQ的度

数．

4．如图①，在正方形ABCD中，点E为AB上的一个点，作射线DE交CB的延长线于点

F，过点C作CM⊥DE交AD于点M，交DE于点N，连接AF．

（1）当点E为AB的中点时．

①求证：DE＝CM；

②若点G，H分别为AC，DC上一点，AB＝2，求△MGH周长的最小值；

（2）如图②，若点P，Q分别为AF，BC的中点，连接PQ交DF于点O，求证：OQ＝

OF．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在AB上，且AE＝1，点F，G分别为

BC，DC上的动点，连接EC，FE，FG，点M为△EBC的外心．

（1）求点M到AB的距离；

（2）若EF⊥FG，且FC＝2BF，求DG的长；

（3）连接AG，求四边形AEFG周长的最小值．

6．（1）如图①，在四边形ABCE中，∠E＝90°，∠B＝∠BCE＝60°，AB＝4，D是边

AB的中点，连接CA，若CA恰好平分∠BCE．

①求EC的长；

②若P，Q分别是边BC，EC上的动点（不与端点重合），试求DP+PQ+AQ的最小值；

（2）如图②，在四边形MNPQ中，MN＝4，MQ＝5，∠N＝∠Q＝90°，∠M＝60°，

点A，B，C，D分别在边MQ，MN，NP，QP上，若AQ＝1，求四边形ABCD周长的最

小值．