人教版(2022)九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教案.pdf

垂直于弦的直径教学设计

一、教学内容

教科书第81-83页，垂直于弦的直径

二、教学目标

知识与能力：通过动手折圆，使学生发现圆的轴对称性。掌握垂径定理

及其推论，并会用它解决有关的证明与计算问题。

过程与方法：经历探究垂径定理及其推论的过程，进一步理解和体会研

究几何图形的各种方法。

情感态度与价值观：通过欣赏中国古代桥梁，向学生进行爱国主义教育，

渗透美育，激发学生学习探究、发现问题的兴趣和欲望。

三、教学重、难点

重点：能初步应用垂径定理进行计算和证明.

难点：理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.

四、教学设计过程

（一）图片欣赏

课件出示各种精妙的桥梁图片：中国建设了无数的桥梁，千百年的

风雨验证了这种结构坚不可摧，以赵州桥为例，当我们知道主桥拱的跨

度以及拱高，你能计算出它的半径吗？带着这个问题，我们开启今天的

知识之旅。

设计意图：结合各种桥梁，对学生进行爱国主义教育和美育渗透。

（二）观察思考

问题1：把你手里的圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你

发现了什么？由此你能得到什么结论？

学生：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

强调：对称轴是任何一条直径所在的直线，不是线段。

设计意图：通过学生亲自动手操作发现圆的对称性，为后续探究打

下基础。

问题2：你能用数学方法证明刚才的结论吗？

教师引导：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直

径所在的直线的对称点也在圆上。

如图1：AB是⊙O的任一条直径，C是⊙O上点A,B以外任意一点过

点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为E，

连接OC,OD

∵在△OCD中，OC=OD,

∴△OCD是等腰三角形

∵OE⊥CD

∴CE=ED

图1

即AB是CD的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点C，在圆上都

有关于直线AB的对称点D，因此⊙O关于直线AB对称。

此处应总结归纳做辅助线的方法，通常是连半径构造等腰三角形或

全等三角形。

设计意图：通过该问题引起学生思考，进行探究，初步感知培养学

生的分析能力，解题能力。

问题3：根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和

弧？

学生通过分析、观察得出：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD

问题4：你能用数学方法证明吗？

CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E.求证：CE=DE,弧AC=

弧AD，弧BC=弧BD。

分析：要证CE=DE，只要证CE,DE构成的三角形全等，要证弧AC=弧

AD，弧BC=弧BD，只需证明C点与D点关于直径AB对称.

证明：连接OC,OD,则OC=OD

在Rt△OCE和Rt△ODE中：

___________________

___________________

∴Rt△OCE≌Rt△ODE（）

∴CE=_____

∴点_____和点_____关于AB对称

∵⊙O关于AB对称

∴当圆沿着直线AB对折时，点C与点D重合，弧AC与弧AD重合，

弧BC与弧BD重合

∴_________,________________,________________

教师引导分析完后，出示需填空的过程，同位两人讨论填空，并找

多名同学现场回答。

总结归纳：

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

符号语言：∵①AB是直径（），②AB⊥CD

∴③CE=DE，④弧AC=弧AD，⑤弧BC=弧BD.

分析：分别将黑板上所画圆的直径中的一段BE，AO擦掉，引导学生

得出括号里填写——过圆心。

教师：垂径定理是由哪几个已知条件得出哪几条结论？

学生：一条直线过圆心、垂直于弦，则可以推出平分弦、平分弦所

对的优弧，平分弦所对的劣弧。

问题5：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平