2024年电大专科汉语言文学艺术欣赏试题及答案参考资料.doc

应用基本不等式求最值

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目录

CONTENTS

引言

一元函数最值问题

多元函数最值问题

约束条件下的最值问题

拓展应用：不等式证明与求解技巧

总结与展望

引言

求解最值问题的实际意义

在生活和工作中，经常需要求解各种实际问题的最大值或最小值，如成本最低、收益最大等。

基本不等式作为数学工具的重要性

基本不等式是数学中的重要内容，对于求解最值问题具有广泛的应用。掌握基本不等式的概念、性质及其应用，对于提高数学素养和解决实际问题的能力具有重要意义。

对称性

某些基本不等式具有对称性，即改变不等式中某些量的顺序，不等式仍然成立。

基本不等式的定义

基本不等式是数学中描述两个或多个量之间大小关系的不等式，如算术平均值不小于几何平均值、柯西不等式等。

可加性

对于某些基本不等式，当两个或多个不等式同时成立时，可以将它们相加得到新的不等式。

特殊性质

不同的基本不等式具有不同的特殊性质，如柯西不等式在特定条件下可以取等号等。

传递性

如果AB且BC，则AC，这是不等式的基本性质之一。

一元函数最值问题

在函数定义域内，若存在某个自变量$x_0$，使得对于定义域内的任意$x$，都有$f(x)leqf(x_0)$，则称$f(x_0)$为函数的最大值。

在函数定义域内，若存在某个自变量$x_0$，使得对于定义域内的任意$x$，都有$f(x)geqf(x_0)$，则称$f(x_0)$为函数的最小值。

最小值

最大值

VS

对于非负实数$a,b$，有$sqrt{ab}leqfrac{a+b}{2}$，当且仅当$a=b$时取等号。利用此不等式可以求某些一元函数的最值。

柯西不等式

对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$（$i=1,2,...,n$），有$left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right)geqleft(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，当且仅当$frac{a_1}{b_1}=frac{a_2}{b_2}=...=frac{a_n}{b_n}$时取等号。柯西不等式在一元函数最值问题中也有广泛应用。

均值不等式

求函数$f(x)=x+frac{1}{x}$（$x0$）的最小值。利用均值不等式，有$f(x)=x+frac{1}{x}geq2sqrt{xcdotfrac{1}{x}}=2$，当且仅当$x=frac{1}{x}$即$x=1$时取等号。因此，函数的最小值为2。

求函数$f(x)=(x-a)^2+(x-b)^2$的最小值。利用柯西不等式，有$f(x)=(x-a)^2+(x-b)^2geqfrac{1}{2}left[(x-a)+(x-b)right]^2=frac{(a-b)^2}{2}$，当且仅当$x=frac{a+b}{2}$时取等号。因此，函数的最小值为$frac{(a-b)^2}{2}$。

案例一

案例二

多元函数最值问题

多元函数最大值

在给定区域内，若存在点$P(x_0,y_0)$，使得对于该区域内任意一点$P(x,y)$，都有$f(x_0,y_0)geqf(x,y)$，则称$f(x_0,y_0)$为函数在该区域内的最大值。

多元函数最小值

在给定区域内，若存在点$P(x_0,y_0)$，使得对于该区域内任意一点$P(x,y)$，都有$f(x_0,y_0)leqf(x,y)$，则称$f(x_0,y_0)$为函数在该区域内的最小值。

对于非负实数$a$和$b$，有$sqrt{ab}leqfrac{a+b}{2}$，当且仅当$a=b$时取等号。利用均值不等式可以求解一些含有根式或分式的多元函数最值问题。

对于任意实数$a_i,b_i(i=1,2,...,n)$，有$left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right)geqleft(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，当且仅当$frac{a_1}{b_1}=frac{a_2}{b_2}=...=frac{a_n}{b_n}$时取等号。柯西不等式在求解含有多个变量的多元函数最值问题时非常有用。

对于非负实数$a$和$b$，以及实数$p$和$q$（$pneqq$），有$left(frac{a^p+b^p}{2}right)^{frac{1}{p}}left(frac{a^q+b^q}{2}right)^{frac{1}{q}}$，当且仅当$a=b$时取等号。幂平均不等式可以用来求解一些含有高次幂的多元函数最值问题。

均值不等式

柯西不等式

幂平均不等式

案例一

求解函数$f(x,y)=x^2+y^2+2x+4