专题22 最值问题中的瓜豆原理模型(解析版).pdfVIP

专题22最值问题中的瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从

动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型总结：

条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量．

如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，

Q的运动轨迹是？

特点

结论：

①主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角；

②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；

③主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

AQPO

分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径

MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

P

Q

AMO

结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共

线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的

相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关

系．

结论主动点、从动点到定点的距离之比是定量

【模型证明】

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

Q

解决方案APO

分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨

迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M

位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

M

Q

P

AO

如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

Q

P

AO

分析考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2